有限列全体の集合を公理から構成する方法

質問

集合Xが与えられた時,Xの元の有限列全体を要素に持つ集合は,公理的集合論からはどのようにして,その存在が示されますでしょうか？

{X^n | n∈N｝という集合の存在が言えるならば,和集合の公理から,
＿＿∪｛X^n | n∈N｝
によって,Xの元の有限列全体のなす集合Z という物の存在が主張できるような気はしましたが,自身は全くありません。
また,昔,「ACを使わなければ,Zの存在は主張できない」という文章も見た事があるような記憶がぼんやりとあります。

何か役に立つサイト,テキストなどあれば御教示いただきたく思います。宜しくお願いします。

回答No.1

stomachman

「pがXの長さnの有限列」ってのは、ご質問にある通り

　　　X^nの要素のこと、

つまり、うるさく言えば、

　　　Xのべき集合のべき集合の中から「順序n対になっている要素（たとえばp=<a,b,c>={{a},{a,b},{a,b,c}}）」という条件で分出した部分集合のこと、

と考えてもいいし、

　　　{k | k=1～n}からXヘの関数p = {<k, p(k)>| k∈1～n}のこと、

あるいは

　　　NからXヘの関数φ全体の集合において、「k=1～nでφ(k)どれもが一致している」という同値関係による同値類のこと、

など、いろいろ捉え方はできるでしょうが、いずれも、べき集合の公理と分出公理と自然数の全体Nがあれば作れましょう。なので、長さnの有限列の全体P(n)は構成できる。

　ならば、おっしゃる通り、{P(n) | n∈N｝だって定義でき、合併集合の公理を使って∪｛P(n) | n∈N｝。

　もちろん、長さnで分類しなくたって、Xのべき集合のべき集合の中からイキナリ「列になってて長さn（n∈N）が存在するもの」を分出したっていいけど。