位相空間についての質問

質問

次の集合論・位相空間論の問題が分かりません。教えていただけると嬉しいです。

(X,d)を距離空間f：X→Xを連続写像とする。
{K_n}(n≧1)を空でないコンパクト集合の列で
f(K_n)⊃K_(n+1)が全てのn∈Nについて成立するとする。
このとき空でないコンパクト集合Kでf(K)=Kとなるものが存在することを示せ。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

Xを実数直線に、通常の位相を入れたものとする。Xは距離空間である。f: X→Xをf(z) = z+1で定めると、fは連続。
n≧1に対し、K_n = [ n, n+1] = { z∈X | n ≦ z ≦ n+1 } で定めると、K_n はcompact。かつ f(K_n) = [ n+1, n+2] = K_(n+1)だから、f(K_n)⊃K_(n+1)を満たす。

所で、KをX（つまり実数体）の空でないcompact集合とすると、Kには最大値aが存在する。a∈K、かつz∈K⇒z≦a。ところで f(K) ∋ f(a) = a+1 であるが、a+1 > aであるから、￢ ( a+1∈ K)。従って、K≠f(K)である。

従って、題意は成り立たない。

お礼

問題自体が不成立だったとは。

ありがとうございます！