lim[x→∞]f(x)の位相での定義は?
よろしくお願い致します。
『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<|x-a|<δ⇒|f(a)-f(x)|<ε』
は
『2つの位相空間(X, T)、(Y, S) と map f;X→Y と
L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b),∃δ∈nbhd(a) such that
f(δ)⊂ε}(a
∈X)に於いて、
L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい
limf(x):=L
x→a
と表記する。そして、L=φの時、f(x)は発散すると言う』
という具合に一般で定義できると思います。
『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や
『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』
に就いては、
『Bは位相空間(X*,T*)の部分集合Aの開被覆である』
の定義は
『T* の部分集合Bに於いて、A⊂∪[b∈B]b』
『位相空間(X*,T*)の部分集合Aはコンパクトである』
の定義は
『X*
の部分集合Aの任意の開被覆B(⊂T*)に対し、∃{b1,b2,…,bn}
⊂B (n∈N) such that A⊂∪[i=1 to n]bi』
『位相空間(X*,T*)はコンパクト空間をなす』
の定義は
『位相空間(X*,T*)の部分集合X* はコンパクトである』
『位相空間(X,T)が位相空間(X*,T*)の中で稠密である』
の定義は
『X⊂X* 且つ φ≠∀A∈T* に対して,A∩X≠φ』
『位相空間(X*,T*)は位相空間(X,T)のコンパクト化である』
の定義は
『X* はコンパクト空間 且つ XはX* の中で稠密である』
従って、『x→∞』の定義は『xをa∈X* に近づける』を意味す
るので
εとδを使うと、
2つの位相空間 (X,T)、(Y,S) と map f: X → Y があり、位
相空間(X*,T*)は(X,T)のコンパクト化である時、
L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b,(Y,S)),∃δ∈nbhd(a,(X,T)) such that
f(δ)⊂ε}(a∈X*)に於いて、
L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい
lim f(x):=L
x→a
と表記し、
L=φの時、f(x)は発散すると言う。
例:実数体RではX*はR∪{+∞,-∞}に相当し、a∈{+∞,-∞}
と定義してみたのですが、
どんな位相空間(X,T)やコンパクト化(X*,T*)では良いという訳ではなく、
夫々に何らかの条件を付け加えねばならないような気がします。
どのような条件を付ければ
『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や
『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』
の一般での定義が完成しますでしょうか?
お礼
１番に関しては、そもそも 全射の定義を勘違いしていたようです。 ２番は 教えて頂いたやりかたで 証明できました。 お礼が遅れてすみませんでした。 おかげさまで 解答を作れそうです。 ありがとうございました。
補足
迅速な回答ありがとうございます。 今 考え中です。また二、三日したら ご返答したいと思います。（すみません 今 やらなければならないことが多すぎて・・・）