位相空間の問題についてです。

質問

位相空間の問題についてです。
(1)開写像だが閉写像ではなく、連続でもない
(2)閉写像だが開写像ではなく、連続でもない
(3)開写像でも閉写像でも連続でもない
(1)～(3)それぞれの条件を満たす位相の写像の例はそれぞれどんなものがありますか。もし写像が存在しない場合は、その証明を記して頂けると助かります。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

補足
簡単な例がないか考えるのがいいです。この場合「簡単な例」＝「なるべく元の数が少ないもの」。
因みに、既に書いてある通り(3)を考えるのが一番簡単です。(3)はAを二元以上の集合として、A上の恒等写像で、（適当な位相をいれると）(3)のようなものが作れる。

というわけで(1)(2)について。
fをXからYへの写像とするとき、
●fがXからYへの全単射なら、fが開写像であることと閉写像である事は同値（なので駄目）
●f(X)が一元しか無い時、fは連続（なので駄目）
なので、(1)もしくは(2)の例を考える時、XとYは共に二元以上で、XとYの少なくとも一方は三元以上でないといけない事がわかる。
（XまたはYが一元しかないと明らさまにだめ、X, Yが共に二元とすると、fは全単射では駄目だが、全単射でないと今度はf(X)が一元集合になって駄目）

ここで、Xが三元でYが二元だとすると、実はこの場合も駄目なことが分かる。というのも
●Yが離散位相だとfは開写像かつ閉写像（なので駄目）
●Yが密着位相だとfは連続（なので駄目）
ついでにこの場合は使わないが、
●Xが離散位相だと、fは連続（なので駄目）
なので、Yには離散位相でもなく密着位相でもないものを入れないといけないが、二元集合上の位相は（同相なものを除くと）残り一つしかなく、しかもf(X)は一元集合では駄目、ということを考えると、考えられる場合は既にかなり限られてしまう。で、結局ダメな事が分かります。

というわけで、X, Yが共に三元の場合の例は既に示しました。一度Xが二元、Yが三元の時に(1)(2)の例があるか、考えてみてください（この場合fが単射でも、fがY上全射にならず、しかもf(X)が二元なので、最初の2つの条件はok. しかも三元集合上の位相で、離散位相でも密着位相でもないものはそれなりにあるので、なんとなくいけそうですよね）

お礼

なるほど…！ 確かにそのようにXとYの元の少ない順に見ていくとより分かりやすいですね！！ 丁寧な回答、本当にありがとうございました！！m(__)m

回答No.1

tmpname

以下、空集合を0と書きます。

(1)三点集合A={1,2,3}の開集合系をO_1 = {0, {1}, A}とした位相空間 (A, O_1)を P, 開集合系をO_2 = {0, {1}, {1,3}, A}とした位相空間(A, O_2)をQとする。
Pの閉集合系CはC_1 = {A, {2,3}, 0}, Qの閉集合系はC_2 = {A, {2,3}, {2}, 0}
PからQへの写像fを f(1) = f(2) = 1, f(3) = 3とすると、これは開写像だが閉写像ではなく、連続でもない

(2) (1)の例で、C_1を開集合系とした位相空間 P'から C_2を開集合系Q'への写像としてfを考えると、これは閉写像だが開写像ではなく、連続でもない。

(3) Aの開集合系をO_3 = {0, {2}, A}とした位相空間R=(A, O_3)に対し、 Pから Rへの恒等写像を考えると、これは開写像でも閉写像でも連続でもない。

お礼

早くて分かりやすい解説をありがとうございます！！ とても参考になりました…！m(_ _)m