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正則かつ非正規である位相空間
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いわゆる「Sorgenfrey平面」と呼ばれるものがそのような ものの例になっています。 定義は： http://www.ipc.shizuoka.ac.jp/~echohta/top/QA/comments01.html
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お礼
回答大変ありがとうございました。 時間が掛かりましたが確かに証明することができました。 ＊＊＊以下、この質問ページに訪れた人のため証明の概要を記載＊＊＊ http://www.math.ru.nl/~vangool/teach/top/sorgenfreyplaneisnotnormal.pdf でのlemma 1.を参考にした。記号の説明を下に挙げておく。 (S,O!):台集合がS、開集合系がO!の位相空間 (位相空間の開集合系O!や閉集合系A!は"!"をつけて普通の集合と区別した) card(A):集合Aの濃度 P(A):集合Aの部分集合系 (1)次の定理を証明する。 位相空間(S,O!)において次の条件を満たす部分集合D,Aが存在するならば、(S,O!)は正規空間ではない (a)Dは(S,O!)において密である (b)A∈A!かつ部分空間(A,Oa!)は離散空間である (c)card(A)≧card(P(D)) (2)Sorgenfrey平面(R×R,O!)において次のことが成り立つ。 (a)Q×Qは(R×R,O!)において密である。 (b)L={(x,-x)∈R×R:x∈R}とすればL∈A!となる。また部分空間(L,Ol!)は離散空間である。 (c)card(L)=card(P(Q×Q))=card(R) (3)(1),(2)よりSorgenfrey平面(R×R,O!)は非正規であることがわかる。