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位相空間の同相について
位相空間(X,Ox)と(Y,Oy)で、全単射f:X→Yに対して、ｆおよび逆写像f^(-1)がともに連続であるときｆを位相写像といい、f:X→Yなる位相写像が存在するとき、(X,Ox)と(Y,Oy)は同相（同位相）であるというのでした。 位相空間（X,Ox）に対し、直積空間X×Xに適当な位相O’を入れたとき、 （X×X , O'）と元の位相空間（X,Ox)は同相ではないと思うのですが、証明はどのようにしたらいいでしょうか。 位相写像が存在しない、ということを言えばいいと思いますが、存在しない、ということをどのように示したらいいのかがわかりません。 よろしくお願いします。
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>位相空間（X,Ox）に対し、直積空間X×Xに適当な位相O’を入れたとき、 >（X×X , O'）と元の位相空間（X,Ox)は同相ではないと思うのですが、 表現があまりに適当で・・・ 例えば，Ox，O'をともに離散位相とすれば すべての写像が連続であり また，XとXxXには全単射が存在するから 結果「同位相」です． 直積には「直積位相」が入りますから それを入れた場合にどうなるか？ということならば 話はまったく違います． 例えば，RとR^2なんかの場合は 一点を除いた場合に，一方は連結，他方は連結ではないので 同相ではないと示せます． 同相ではないことを示すには 同相であれば成り立つことが成り立たないという 背理法を使うのが定石のひとつです． 一般に Xと直積位相をいれたXxXが常に同相ではないかは 私は知りませんが 一般的な結論はないか あってもかなり難解ではないかとおもいます ＃キュネットの定理というのがあって ＃直積のホモロジー群は計算できるのですが ＃かなり複雑な公式です．
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お礼
詳しい解説ありがとうございます。 やっと理解できました！