位相と連続の証明問題で質問です。
識者の皆様よろしくお願い致します。下記の問題について質問です。
Let A be a set;let {X_α}_α∈J be an indexed family of spaces;and let {f_α}_α∈J be an indexed family of functions f_α:A→X_α.
(1) Show there is a unique coarsest topology T on A relative to which each of the fuctions f_α is continuous.
(2) Let S_β:={f_β^-1(U_β); U_β is open in X_β},and let S=∪S_β. Show that S is a subbasis for T.
(3) Show that a map g:Y→A is continuous relative to T if and only if each composite map f_α。g is continuous.
(4) Let f:A→ΠX_α be defined by the equation f(a)=(f_α(a))_α∈J ;let Z denote the subapace f(A) of the product space ΠX_α.Show that the image under f of each element of T is an open set of Z.
「Aを集合とし,{X_α}_α∈Jを添数付けられた(位相?)空間の族とし,{f_α}_α∈Jを添数付けられた写像f_α:A→X_αの族とせよ。
(1) 各f_αが連続となる事に関連したA上の最強位相Tが一意的に存在する事を示せ。
(2) S_β:={f_β^-1(U_β);U_βはXでの開集合},そしてS=∪S_β…(*)とする時,SはTの準開基となる事を示せ。
(3) 写像g:Y→AがTに関して連続⇔各合成写像f_α。gは連続。
(4) f:A→ΠX_αをf(a)=(f_α(a))_α∈J; Zは直積空間ΠX_αのf(A)の部分空間を表す。Tの各元のfの像はZの開集合になる事を示せ。」
(1)については各f_αが連続だというのだから∀t_α∈T_α(但しT_αはX_αの位相),f_α^-1(t_α)はAの開集合(…という事はAは何らかの位相を持っている?その位相をTとしておく)。f_α^-1(T_α)⊂Tになっていなければならない(∵連続の定義)。
よってT=∪[α∈J]{f_α^-1(t_α)∈2^A;t_α∈T_α}…(ア)と書け、TはAの最強の位相だというのだからAの任意の位相は全てTより弱い。
よってTは離散位相にならねばならない?
それでT=2^Aを示せばいいのかと思いました。T⊂2^Aは明らかなのでT⊃2^Aを示します。
∀G∈2^Aを採ると、、、ここからどのように書けますでしょうか?
(2)については今,S=∪[β∈J]S_β={s∈2^A;∃β∈J such that s∈S_β}…(**)となっていて,
∪[s∈S]s=Tとなる事を示せばよい(∵準開基の定義)。
∪[s∈S]s⊂Tを示す。
∀s∈Sを採ると(*)より,∃β∈J;s=f_β^-1(U_β).よってこれは(1)でのTの元になっているのでs∈T.
∪[s∈S]s⊃Tを示す。
∀t∈Tを採ると∃β∈J;t=f_β^-1(t_β) (但し,t_β∈T_β)(∵(ア))
よってS_βの定義(S_β:={f_β^-1(U_β);U_βはXでの開集合})からf_β^-1(t_β)∈S_β.
よって(*)よりf_β^-1(t_β)∈∪[s∈S]s(∵(**)). 以上より T=∪[s∈S]s.
で大丈夫でしょうか?
(3)については
"⇒"は連続写像同士の合成はまた連続なので明らか。
よって逆を示す。
まずf_α。g:Y→X_αは連続だと言うのだから∀t_α∈T_α,(f_α。g)^-1(t_α)∈T_y (但し,T_yはYの位相)…(***)と書ける。
そしてこれは(f_α。g)^-1(t_α)=g^-1(f_α^-1(t_α)) (∵逆写像の定義)と変形でき,
f_α^-1(t_α)∈T_α⊂Tだったので纏めると,,(***)から
∀f_α^-1(t_α)∈T,g^-1(f_α^-1(t_α))∈T_yと書け、gは連続。
(4)についてはf(a)=(f_1(a),f_2(a),…)となっていて
Z(⊂f(A))の位相はT_z:={f(A)∩t_p∈2^ΠX_α;t_p∈T_p} (但しT_p:={U[u∈U];U⊂ΠT_α}) と書ける(∵相対位相の定義)。
それで示す事は∀t∈T,t∈T_zである。
∀t∈Tを採ると∃α∈J;t∈T_αそして,f(t)=(f_1(t),f_2(t),…)となり,今f(t)∈f(A)なので
f(t)∈T_zである事を示すにはf(t)∈t_pである事を示せばよい。
でこれらも大丈夫でしょうか?
お礼
ご回答ありがとうございます。 逆写像と逆像の違いを、きちんと認識しておりませんでした。 とても勉強になりました。有り難うございました。