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連続関数の定義に関して(位相空間)

「定義 (X、O_X)、(Y、O_Y)を位相空間とする。写像f:X→Yが連続であるとは、U \in O_Y→f~(-1)(U)\in X を満たすことである。(ただし、A\in Bは、AがBに含まれているという意味とする)」 と”連続”の定義が位相空間論の本には載っていて、この定義がε-δ論法での連続の定義と同じであることが一般に言われていますが、どうして位相空間論における連続の定義では、f^(-1)の存在を特に何の指定もなく認めてしまっていいのか、その辺りがよくわかりません。もしもわかっている方がいらっしゃれば、お教えいただけないでしょうか?

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そのf^(-1)は逆写像ではなくて逆像です。(同じ記号で書くので紛らわしいですね) 定義はN01の方の通りf^-1(B) = { x ∈ X | f(x) ∈ B }です。(BはYの任意の部分集合) fがXからYへの写像であるのに対して、f^(-1)はYの部分集合全体からXの部分集合全体への写像です。 逆写像は全単射でなければ存在しませんが、逆像はつねに存在します。 ちなみに、よく逆像の意味でf^(-1)(y)などと書くことがありますが、これは本来はf^(-1)({y})と書かれるべきものです。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 逆写像と逆像の違いを、きちんと認識しておりませんでした。 とても勉強になりました。有り難うございました。

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その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

f (や f^-1) を「集合から集合への写像」としているからではないですか? つまり f^-1 を f^-1(Y) = { x ∈ X | f(x) ∈ Y } と定義すればいかなる写像 f: X → Y に対してもその逆写像を定義できますよね.

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質問者からのお礼

お教え頂き、有り難うございます。 とても参考になりました。

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