位相と連続２

質問

http://okwave.jp/qa/q8225961.html
にて、位相に関して質問をしたものです。

皆様からの回答を受けて、さらなる疑問が湧いたので、続けて質問をさせてください。

１） x = 0 でジャンプする関数（x = 0で未定義） f(x)=x (x<0), f(x) = x + 1 (x > 0)
を考えます。位相の考え方でいくと、この関数は連続となるとの結果でした。
では、解析学の立場からいってε-δ論法によって、この関数は連続である、と証明できるのでしょうか？
（未定義な点 x= 0 をまたいでグラフが繋がっているだの繋がっていないだのということ自体ナンセンスということでしょうか。。。）

２）f(x) = 1/x は、不連続関数であると思うのですが、
「Yの開集合 *** の逆像 f^{-1}(***) がXの開集合でない」
というロジックで証明できるのでしょうか？
それとも、この関数も(1)と同様にx=0で定義されていない関数なので、やはり連続なのでしょうか？

３）（１）と（２）の結果次第なのですが、位相空間の世界では連続だけど1次元Euclid空間では不連続である、というようなことはあるのでしょうか（何かトンチンカンなことを聞いている、ということであればご指摘ください）

以上、よろしくお願いします。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

確かにわかりにくいのですが、論理的には次のようになります。

　ユークリッド空間はもちろん位相空間の一つで、さらに距離空間になる事も御存じと思いますが、一般の位相空間と距離空間における連続の定義の関係は、まず、

　値域の任意の開集合の逆像が定義域の開集合になるなら連続（一般位相空間）

　　　⇒　定義域のxへ収束する任意の点列の値域での像列がf(x)に収束するなら、fはxで連続（距離空間）．　　　(1)

となり、距離空間の中で、

　定義域のxへ収束する任意の点列の値域での像列がf(x)に収束するなら、fはxで連続

　　　⇔　ε-δ論法での連続性．　　　(2)

を示せます。

　逆に(2)が成り立つなら、距離空間の距離から自然に定義される開集合に対して、(1)の逆が成り立ち、距離空間（ユークリッド空間）において、ε-δ論法と一般位相論による連続性の結論は一致する事を示せます。従って、一般位相論における連続性と、直感的な（グラフなどによる）連続性は、必ず一致します。一致しなかったら、絶対に自分がどこかで間違えています。

　ただしですね。関数（写像）は、f：Ｘ→Ｙと「定義」するように、「定義域が最初にありき」なんです。f(x)＝1/xの自然な定義域はx≠0ですから、誰もがx＝0を除いた全ての実数範囲を考えます。その範囲であれば、f(x)＝1/xは確かに連続です。

　あなたの定義したf(x)は、「x＝0では定義しない」となってますので、「x≠0の範囲なら、連続である」と言わざる得ない訳です（グラフを書けば明らかですから・・・(^^；)）。それは「x≠0の範囲なら、f(x)＝1/xが連続である」のと同じです。

　でも人間は、その制約を越えて、x＝0も含めてf(x)＝1/xなどが連続か否かを判定したがります。しかしx＝0ではf(x)＝1/xは、定義不可能です。そこで、もう少し進めば「一様連続」の概念が出て来ます。f(x)＝1/xは、一様連続では「ありません」。

　とりあえず連続関数を考えると言いながら、「有界閉区間上の連続関数を考える」と、呪文のように「有界閉区間」が付いてまわりませんか？(^^)。「有界閉区間上の連続関数」は「一様連続」であるからなんです。一様連続関数が、一番我々の直感にマッチしてるからです。

お礼

詳細な解説ありがとうございました。

f(x)=1/xは「不連続」であるという思い込みから脱却できただけでも大きな前進です。

位相空間論の理解が進みそうです。

回答No.1

rinkun

１）x≠0とします。0<ε<|x|であるような任意のεについてδ=εと置くと、
x-δ<y<x+δとなるyについてxとyは同符号なので
|f(x)-f(y)|=|x-y|<δ=ε
となり、連続と言えます。

２）f(x)=1/xはx=0では定義されていませんが、それ以外の定義された範囲では連続です。
定義域が連結していないという位相的性質が不連続のイメージをもたらすのかも知れませんね。

３）連続は連続です。

お礼

回答をありがとうございます。

先入観で連続だ不連続だと決めつけてしまう思考を変えていかないといけないようです。
感情を排して、定義のみにしたがって連続・不連続を判定する訓練をします。