• 締切済み
  • 暇なときにでも

位相

X を位相空間,Y をコンパクト位相空間とする.このとき, (1) U を直積位相空間X × Y の開集合としたとき, A = { x | {x} ×Y ⊂ U } はX の開集合であることを示せ. これを解くためのヒントをください。 Aに含まれる任意の点 x1のある近傍がAに含まれることをしめすんですね。そのような近傍をどうとればいいんでしょうか。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数224
  • ありがとう数0

みんなの回答

  • 回答No.3

X を位相空間,Y をコンパクト位相空間とし, U を直積位相空間X × Y の開集合としたとき, A = { x | {x} ×Y ⊂ U } はX の開集合であることの証明 射影π_1:X × Y → X , π_1(x,y)=x とする 射影π_2:X × Y → Y , π_1(x,y)=y とする 任意の a∈A とする 任意の b∈Y とする → (a,b)∈{a} ×Y⊂U だから (a,b)∈W_{a,b}⊂π_1(W_{a,b})×π_2(W_{a,b})⊂U 、 となる 開集合 W_{a,b} がある Y=∪_{b∈Y}π_2(W_{a,b}) で Y コンパクトだから Y=∪_{1≦k≦n}π_2(W_{a,b_k}) となる {b_k}_{1≦k≦n}⊂Y がある V_a=∩_{1≦k≦n}π_1(W_{a,b_k}) とし x∈V_a とし (x,y)∈{x} ×Y とすると → y∈π_2(W_{a,b_k})  となる b_k がある → (x,y)∈π_1(W_{a,b_k})×π_2(W_{a,b_k})⊂U → {x} ×Y ⊂ U → x∈A → a∈V_a⊂A → A は開集合

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 集合と位相

    (1)X,Yは位相空間とする。A,BがそれぞれX,Yの開集合であるときA×Bは直積位相X×Yの閉集合であることを示せ。 (2){Xλ}λ∈Λを位相空間の族としてAλ⊂Xλ(λ∈Λ)とする。 この時直積位相空間Πλ∈ΛXλにおいて以下を示せ。 (閉包のバーの書き方がわからないのでclと表記します) (a)cl(Πλ∈ΛAλ)=Πλ∈ΛclAλを示せ。 (b)Λは無限集合であるとき、Int(Πλ∈ΛAλ)≠φであるための必要十分条件は有限個のIntAλ≠φであり、かつその他のλについてはAλ=Xλであることを示せ。 (1)は以下のように考えたのですがわかりません。 Aの補集合、Bの補集合はそれぞれX,Yの開集合となる。 よってA^c×B^cは直積位相X×Yの開集合となる。 また(A×B)^c=(A^c×Y)∪(X×B^c) ここで詰まってしまいました。友人に聞いてみたら、 「生成する」位相という言葉の定義がわかってないと言われました。これはどのような意味なのでしょうか? 例えは直積位相の定義にもありました。 X,Yが位相空間でそれぞれの位相をЦx、Цyとした時に Цx×Цy={O1×O2|O1∈Цx,O2∈Цy}が生成する位相を直積位相という。 また位相を「入れる」ということはどういう意味なのでしょうか? (2)(a)は次のように考えてみましたがどうでしょうか? (⊃) ∀x∈Πλ∈ΛclAλを取る。∃λ∈Λ s.t. x∈clAλであるから xの任意の近傍はAλと交わる。したがってxの近傍はAλよりも大きい集合Π(λ∈Λ)Aλとも交わるので、 xはcl(Π(λ∈Λ) Aλ)の点になる。 (⊂) ∀x∈cl(Π(λ∈Λ) Aλ)を取る。 xの任意の近傍とΠ(λ∈Λ)Aλは交わるから、 あるAλと任意の近傍は交わる。これよりx∈clAλ よってx∈Πλ∈ΛclAλ (b)はわかりませんでした。アドバイスお願いします。

  • 直積位相

    X、Yを位相空間とする。 『W⊂X×YがX×Yの開集合⇔任意の(x,y)∈Wに対して、x∈XのXにおける開近傍U⊂X、y∈YのYにおける開近傍V⊂YでU×V⊂Wとなるものが取れる』 と定義することにより、X×Yは位相空間になる事を示せ。 という問題です。 X、Yが位相空間なので、それぞれの位相をO(X)、O(Y)としてX×Yの位相をO(X×Y)={Uλ×Vλ;Uλ∈O(X)、Vλ∈O(Y)}とおいて証明しようとしたのですが、これでは上記の定義が満たされていないと注意され詰まってしましました。 どなたかアドバイス(もしくは証明)していただけませんでしょうか?

  • 位相 初心者です。

    「AとBが位相空間Xの開集合ならば、A×Bは直積位相空間X^2の 開集合である。」 上記の内容は、定義ですか、それとも定理ですか。 定理であれば、証明の考え方を教えてください。

  • 回答No.2
noname#62967

Aの定義から、まずx1を通る「直線」を考えます。 次に、直線上の点は開集合Uの点なので、Uに含まれる「長方形」を考えます。 あとは、Yのコンパクト性が活躍してくれるはずです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>これを解くためのヒントをください。 Y がコンパクトであることを使う。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 位相空間・直積空間

    はじめまして。 数学科の学生です。 位相空間のテストを間近に控え勉強しています。 「集合と位相」 鎌田正良著 P107[3-4] A1を位相空間X1の部分空間とし、A2を位相空間X2の部分空間とすると、直積空間A1×A2は直積空間X1×X2の部分空間を示せ。 この問題が分かりません。 相対位相と直積空間を使うというのは分かるのですが、 直積空間の定義自体がしっくりきません。 どなたかお力をお貸しください。

  • 大阪大学大学院 数学専攻 問題 2007年

    X;コンパクト位相空間、Y;位相空間、aをYの点とする。 f;X×Y(直積)→R(実数)を直積位相空間X×Y上の連続関数とし、 Xの任意にのxに対し、f(x,a)がゼロでないを満たすとする。 このときYにふくまれるaの開近傍Uで X×Uに含まれる任意の(x,y)に対し、f(x,y)がゼロでない を満たすものが存在することを示せ。 読みにくいと思いまずが、大阪大学の数学専攻の2007年度の 問題です。 よろしくお願いします。

  • 正則かつ非正規である位相空間

    正則空間であり正規空間でないような位相空間の例を教えてください。 (証明は書かなくても構わないです。ただできれば、位相を開集合系、閉集合系、 近傍系、基本近傍系、開集合系の基底のどれか一つのみで定めてください)

  • 位相についてのご質問です。

    位相について質問です。 「集合Sの部分集合族Kが (1)O(空集合)、SがKに含まれる (2)集合A,BがKに含まれるならAとBの共通集合もKに含まれる。 (3)任意のKの元Fmに対してFmの全和集合もKに含まれる。 以上を満たす時,KはSに位相を与えるといい(S,K)を位相空間という。 そして、Kの元を開集合といいKを開集合系という。」 このKの元を開集合といいという所からさっぱり分かりません。 どこがどう開集合なんですか? 例えばS={1,2,3}とすればK={O,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} となってこれは(1)から(3)を満たすので(S,K)は位相空間でKの元は開集合にもなってないと思うのですが。

  • 有限集合からなる位相空間における写像の連続性

    ある位相空間Xから別の位相空間Yへの写像fが連続であるとは、Yの任意の開集合Oの逆像f^-1(O)が開集合であると定義されていると思いますが、この定義に従うと、有限集合に位相を入れた位相空間Xからの別の位相空間Yへの写像は、位相空間Xの集合が全部開集合となり、必ず連続になるのでしょうか。

  • 集合・位相

    集合・位相初心者です。 授業で開集合と閉集合、近傍の定義を教えてもらったのですが、理解できず、困っています。 以下は、授業で使っているプリントに載っている定義です。 X:集合 T:Xの部分集合からなる集合族 (X,T):位相空間 とする。 Xの部分集合UがTの元であるとき、Uを開集合という。 また、Xの部分集合Fの補集合がTの元であるとき、Fの閉集合という。 点x∈Xに対して x∈U゜ を満たすXの部分集合Uを近傍という。また、このような近傍全体のなす集合族をxの近傍系といい、U(x)で表す。 具体的な例で教えて頂けると助かります。 例えば、集合X={1,2,3,4,5}、位相T={φ,{3},{4},{3,4},{1,3},{1,3,4},X}として、位相空間(X,T)をつくると、この(X,T)の開集合、閉集合、点3の近傍(点は適当に選びました)はどうなるのか。 集合・集合は初心者なので、詳しく教えて頂けると嬉しいです。 ご教授、よろしくお願い致します。

  • 位相(閉包の性質について) 初心者です。

    以下の問題の証明がわかりません。 問.位相空間(X,T)の2つの部分集合A、Bについて、   Aが開集合のとき、           A∧B ̄ ⊂(A∧B) ̄   が成り立つことを証明せよ。 解答として、以下の解答例があったのですが、 x∈A∧B ̄ とし、A’をxを含む任意の開集合とすれば、  A∧A'もxを含む開集合で、  x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。  すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。  したがって、          x∈(A∧B) ̄ 3行目と4行目の 「 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。  すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。」 がなぜなのかわかりません。 以前の質問にも同じ問題に対して質問されている方がいらっしゃり、その回答では、 「「x∈B ̄⇒(A∧A')∧B≠Φ 」で、つまり閉包の性質「x∈B ̄⇔xの任意の開近傍Uに対してB∧U≠Φ」であるからである。 となっていたのですが、 なぜなのかわかりません。 そもそもこの閉包の性質の意味が理解できません。 どなたか、詳しく教えていただけないでしょうか?

  • 直積位相空間について

    以下の命題の証明の仕方が分かりません。 「(A_1, O_1), (A_2, O_2): 二つの位相空間, (A_1×A_2, O): (A_1, O_1) と (A_2, O_2) の直積位相空間, X_1⊆A_1, X_2⊆A_2, X_1 と X_2 は共にコンパクト, W∈O s.t. (X_1×X_2)⊆W であるとき、 ある U_1∈O_1, U_2∈O_2 で、 X_1⊆U_1, X_2⊆U_2, (U_1×U_2)⊆W を満たすものが存在する」 証明の方針だけでも教えて頂けないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 位相空間の問題です.

    位相空間の問題です. Xを位相空間としたとき,X上の点列x_nが収束することの定義について (1)∀N:xの近傍,∃n_0 s.t. n>n_0⇒x_n∈N (2)∀N:xの開近傍,∃n_0 s.t. n>n_0⇒x_n∈N (1),(2)が同値であることを証明せよという問題なのですが、どなたか解説お願いします。

  • 位相の問題

    二つの近傍系β1(a)(a∈S)、β2(a)(a∈S)が与えられ、次の条件が満たされているとする。 任意のO_1∈β1(a)に対して、O_2⊆O_1となるO_2∈β2(a)が取れる。また逆に、任意のO_2∈β2(a)に対して、O_1⊆O_2となるO_1∈β1(a)が取れる。 このとき、二つの近傍系は同じ位相を定めることを示せ。 この問題で自分は次のように解答を作りました。 [証明] 近傍系β1(a)から決まる開集合Aの定義より   ∀a∈A(⊂S)、∃u∈β1(a);u⊆A ここで∀O_1∈β1(a)に対してO_2⊆O_1となるO_2∈β2(a)が取れるので、 ∃u∈β1(a)が存在して、O_2⊆uとなるO_2∈β1(a)がとれる。 したがって、∀a∈A(⊆S)、∃O_2∈β2(a);O_2⊆u⊆A よって、Aは近傍系β2(a)から決まる開集合である。 同様に逆も成り立つ。 故に二つの近傍系β1(a)、β2(a)は同じ位相を定める。 この回答で不十分な点、間違いとうがあったら指摘してください。お願いします。