位相空間論について質問です．

質問

位相空間論について質問です．

A⊂R^nのとき，x∈R^nが集合Aの集積点であることの定義ですが，

（i）xを含む任意の開集合Uに関して，（U＼｛x｝）∩A≠Φ
（ii）（A＼｛x｝）∩B（x，ε）≠Φ

の2通りを見かけました．B（x，ε）はxのε近傍です．

学校の講義では（i）を習ったのですが，個人的には（ii）の方がわかりやすくて使い易いです．
（i）の方がいまいちイメージが掴めません．

（i）と（ii）は同じことだと思うのですが，（i）についてわかり易い解説をお願いできますか？
任意の開集合というものが入ってくるとわかりづらいです．

よろしくお願いします．

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

どっちでも同じことです。

質問の式を
(i)　　( U ∩ A )＼{x} ≠ Φ
(ii)　　( B(x,ε) ∩ A )＼{x} ≠ Φ
と書き換えても、同値な論理式でしょう？

(ii) は、x を含む開集合を B(x,ε) の形に制限しているので、
距離位相のときだけ使える書き方ですが、
一般位相では、同じことを (i) のように書くのです。

回答No.2

koko_u_u

>（i）と（ii）は同じことだと思うのですが，（i）についてわかり易い解説をお願いできますか？

同じであることを自ら証明することで理解するしかありません。