R^∞ の箱位相と直積位相における閉包の求め方とは？
- R^∞はR^ωの部分集合で、やがて0になる数列からなる集合です。
- R^∞の箱位相と直積位相における閉包は、それぞれA=R^∞, B=R^ωとなります。
- 直積位相と箱位相の関係は、T_p ⊂ T_bとなります。
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何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か?
R^∞はR^ω(R^ωはRの可算個の直積集合)の部分集合でやがて0になる数列{x_n}(有限個の項は非零)全体からなる集合とする時,何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か? 正解はR＾∞ の箱位相と直積位相における閉包を夫々A,Bとすると A=R^∞,B=R^ωのようです。 R^ωの直積位相T_pはTをRの通常の位相とすると S:=∪[λ∈Λ]{π_λ^-1(U_λ);U_λ∈T} (Λは可算な添数集合,π_λは射影) とするとこのSはR^ω上の準開基をなし, B:={∩[s∈S']s;S'⊂S,S'は有限集合}はR^ω上の開基をなし、 これから生成される位相T_pは T_p:={∪B';B'⊂B}(={∪[b∈B']b;B'⊂B}の意味)と書ける。 箱位相T_bの定義は B:={Π[λ∈Λ]U_λ;U_λ∈T}と置くとT_b:={∪[b∈B']b;B'⊂B} それでT_p⊂T_bの関係になっていると思います。 ヒントは ∀x=(x_1,x_2,…)∈(R^∞)^cを取り, ε_i=|x_i|/2 (x_i≠0の時),∞(x_i=0の時) とすると V=(-ε_1,ε1)×(-ε_2,ε_2)×… はxの箱位相における近傍でR^∞∩V=φ よってA=R^∞. となっています。∀x=(x_1,x_2,…)が(R^∞)^cの内点になっているのでA=R^∞という事なんでしょうが (0,0,…)はR^∞の元になっていてVの元にもなっていますよね。 したがってR^∞∩V=φは言えないと思うのですが…。 後半についてのヒントは ∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωを取ると直積位相におけるxの任意の近傍Vを取ると ある自然数nに対し,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vで R^∞∩{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω≠φなのでR^∞∩V≠φである。 よってB=R^ω となっているのですがこれも同様に∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωがR^∞の内点かもしくは境界点になっているのでB=R^ωとなるんだと思います。 xの任意の近傍Vはx∈V∈T_pと書けますよね。 それが{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vとどうしてなるのか分かりません もしV=(-|x_1|-1,|x_1|+1)×(-|x_2|-1,|x_2|+1)×(-|x_3|-1,|x_3|+1)×… とずっとなっている場合は,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vと言えませんよね。 どのように解釈したらいいのでしょうか?
- Erika111
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箱の方はおかしいです． V=(-ε_1,ε1)×(-ε_2,ε_2)×… ではなく V=(x_1-ε_1,x_1+ε1)×(x_2-ε_2,x_2+ε_2)×… でしょうか． 0ではない各成分の，その成分での十分小さい近傍をとることで R^∞とは交わらない近傍を確保できます． 後半の直積に関しては 直積位相の定義をしっかりみなしましょう． R^ωのSは，R x R x ・・・x π_λ^{-1}U_λ x ・・・x R x ・・・ のように一個だけが「小さい」のです． 可算無限個だということに注意． さて開基の定義にしっかり「有限」とあります． この「有限個」の共通部分には どんなに頑張っても「有限個」のπ_λ^{-1}U_λしかありません． そのような「有限個」の「最大の添え字」nをとれば ヒントのように処理できます． ポイントは「無限個の直積」であることと， 位相の定義においては「有限個の共通部分が開集合」であることです． 有限次元ではこういうことは起こりません．
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> 箱の方はおかしいです． > V=(-ε_1,ε1)×(-ε_2,ε_2)×… > ではなく > V=(x_1-ε_1,x_1+ε1)×(x_2-ε_2,x_2+ε_2)×… > でしょうか． なるほど。ありがとうございます。これならε_1,ε_2,…を十分小さく取れば0を含みませんね。 > 後半の直積に関しては > 直積位相の定義をしっかりみなしましょう． > R^ωのSは，R x R x ・・・x π_λ^{-1}U_λ x ・・・x R x ・・・ > のように一個だけが「小さい」のです． そうですね。確かにSの元は一個(ひと項)だけが「小さい」ですね。 > 可算無限個だということに注意． > さて開基の定義にしっかり「有限」とあります． > この「有限個」の共通部分には > どんなに頑張っても「有限個」のπ_λ^{-1}U_λしかありません． > そのような「有限個」の「最大の添え字」nをとれば > ヒントのように処理できます． なるほど。一個だけが「小さい」Sの元達 R x R x ・・・x π_λ^{-1}U_λ x ・・・x R x ・・・ の有限個の共通部分は有限個だけが「小さい」 R×R×…×R×π_λ1^-1U_λ1×…×R×…×R×π_λ2^-1U_λ2 ×R×……×R×π_λn^-1U_λn×R×…… …(1) のような形の元の集合がT_pなのですね。 したがって ∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωを取ると直積位相におけるxの任意の近傍Vを取ると Vは(1)の形をしてるのである自然数nに対し,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vと書けますね。 あとはR^∞の元は有限個の項が非零で無限個の項が0なので R^∞∩{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω≠φとなり得りますね。 よってR^∞∩V≠φである。