位相空間における連続写像の存在証明
- 位相空間において、連続写像g:[0,1]→T、g(0)=a、g(1)=cが存在するかどうかを検討します。
- 連続写像φ:[0,1]→T、φ(0)=a、φ(1)=bと連続写像ψ:[0,1]→T、ψ(0)=b、ψ(1)=cが存在する中で、g(x)=φ(2x)(0≦x≦1/2)、g(x)=ψ(2x−1)(1/2≦x≦1)という連続写像を考えます。
- 連続写像gの連続性を確認するために、g(1/2)∈Uなる開集合U⊂Tを任意に取ります。g:[0,1/2]→Tの連続性とg:[1/2,1]→Tの連続性から、それぞれの区間で連続であることが示されます。ただし、[0,1]の位相の元であるV1とV2が開集合であるかどうかは判明していません。
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位相空間についての質問です。
位相空間(T,Ot)(Tは集合でOtは位相)として、a,b,cはTの元とします。 連続写像φ:[0,1]→T、φ(0)=a、φ(1)=bが存在して、 連続写像ψ:[0,1]→T、ψ(0)=b、ψ(1)=cが存在するとします。 このとき、連続写像g:[0,1]→T、g(0)=a、g(1)=cは存在するのでしょうか？ もし存在するなら証明してほしいです。 自分の持ってる教科書の連続写像の定義は、 f:(T,Ot)→(S,Os)が点a∈Tで連続。 ⇔f(a)∈Uとなる任意のU∈Osに対して、あるV∈Ot,a∈Vが存在して、f(V)Uとなる。 と定めています。 一応、自分で考えたのは、 g:[0,1]→T、g(x)=φ(2x)(0≦x≦1/2)、g(x)=ψ(2x−1)(1/2≦x≦1)なのですが、x=1/2で連続なのかわかりません。g:[0,1/2]→T, g:[1/2,1]→Tは連続だと思います。 g(1/2)∈Uとなる開集合U⊂Tを任意に取ります。 g:[0,1/2]→Tの連続性から1/2∈V1、V1⊂[0,1/2] となる開集合が存在してg(V1)⊂Uで、 g:[1/2,1]→Tの連続性から1/2∈V2、V2⊂[1/2,1] となる開集合が存在してg(V2)⊂Uとなる事はわかります。 V1もV2も[0,1]の相対位相の元なので、V1UV2は、[0,1]の開集合となるのかわからないです。 (V1もV2も[0,1]の位相の元([0,1]の開集合)ならば、V1UV2は、[0,1]の開集合となる事はわかります。)
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そもそも [0,1]の上の（開）位相も、実数体Rの位相から誘導されたものを入れている（という前提ですね？） [0, 1/2] [1/2, 1]の上の位相も同様。 もう一度繰り返すと： g(1/2)∈ Uなる Uの開集合 U∈O[T] を勝手に取る。 今の話で、[0, 1/2]の開集合 V[1] で、1/2∈V[1]、且つ g(V[1])⊂ Uなるものがあるが、そもそも[0, 1/2]には実数体Rからの相対位相を入れていたのであるから、Rの開集合W[1]があって、 V[1] = W[1]∩[0, 1/2] となる。 同様に、[1/2, 1]の開集合 V[2] で、1/2∈V[2]、且つ g(V[2])⊂ Uなるものがあるが、同様にRの開集合W[2]があって、V[2] = W[2] ∩ [1/2, 1]となる。 W = W[1]∩W[2] はRの開集合で、1/2∈ Wである。 V= W∩[0,1] は[0,1]の開集合。これについて考えよ。 V∩[0,1/2] = W∩[0,1/2] は[0,1/2]の開集合で、 V∩[0,1/2] = W∩[0,1/2] ⊂W[1]∩[0,1/2] = V[1], 同様に V∩[1/2, 1]⊂V[2] である。
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お礼
丁寧な解説ありがとうございます。 とても良くわかりました。 本当にありがとうございました。