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位相です

<X,d1>,<Y,d2>をともに距離空間とする。d1が離散距離ならば、任意の関数f:X→Yが連続であることを示せ。 ここで、 d1,d2により定まるX,Y上の距離位相を、それぞれT1,T2とする。 距離位相の定義から、距離dのもとでの開集合と、距離位相Tのもとでの開集合は一致するから、fは連続になりますよね?? でも、 このことをうまく、数学的に記述して、答えることができません。 だれか、教えてください!!

質問者が選んだベストアンサー

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  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)
回答No.1

これは、ほとんど明らかだと思います。 d1が離散距離ですから、Xには離散位相がはいります。 したがって、Xのすべての集合は開集合となります。 よって、Yの任意の部分集合の逆像は開集合となります。 このことは、f:X→Yが連続であることを示しています。

nepiashin
質問者

お礼

パソコンに触れない状況にいたのでお礼が遅くなり申し訳ございません。 わかりました。ありがとうございます!!!

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