距離と位相について初等的な例を説明してください
- 距離と位相について初等的な例を通じて説明します。
- 数直線上に並んだ点x、y、zについて、d(x, y) = d(y, z) = 1、d(x, z) = 2という条件が与えられています。
- 通常のRにおける距離を考えて、開集合と位相を導入することで、距離と位相の関係を理解することができます。
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距離と位相
x,y,zが数直線上にならんでいます。d(x,y)=d(y,z)=1, d(x,z)=2という感じです。 つまり、それぞれ一ずつ離れて、x,y,zの順番でならんでいることになります。 定義域のほうも通常のRでけっこうです。通常のRの距離を考えて、ここから開集合、位相を導入します。このときの位相はつぎのようなものでよいのでしょうか。 (x), (y), (z), (x,y), (y,z) (x,y,z)と空集合。 ごく初等的な例で、距離と位相の関係をつかみたく思います。当方文系ですので、上記で誤っていた場合ですが、どこが違うのかなるだけ初等的にご説明いただければ幸いです。 どの点についても、うまく開球をとれば当該集合に含まれるという開集合の定義が焦点だと思います。この開集合の理解があっていれば、間違っていないように思いますが、自信はありません。
- yikepon
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質問者が選んだベストアンサー
それを一言でいうと、A No.1 のようになるのです。 その場合、｛ x, z ｝も開集合の一つになります。 実数の位相でも、(-0.5, 0.5)∪(1.5, 2.5) は開集合ですよね。
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- koko_u_u
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＞通常 のRの距離を考えて、ここから開集合、位相を 導入します Rの部分集合{x, y, z}に相対位相を導入する。ということですか？
補足
ありがとうございます。うまく表現できるかどうか。一般の距離概念で、考えたいということなのです。距離が入れば、ε近傍も定まりしたがって開球も定義でき、開集合も定まると考えているのですが。 そこで、距離概念と対応する位相が上記があっているのかどうかという関心です。 うまく質問できているかどうかわかりませんが、よろしくお願いいたします。
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