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距離空間でどのように開集合族をとれば位相空間になる?

よろしくお願い致します。 距離空間Xはその距離によって定められる開集合族をGとすればXは位相空間になると本に書いてあったのですが いまいち文意が分かりません。 距離d:X^2→Rに於いて、具体的にどのようにGを定めればいいのでしょうか?

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  • 回答No.2
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

普通に考えると、すべての点が内点である部分集合全体の集合をGとす ればよいです。 部分集合Uの点pが内点であるとは、pのある近傍{p'|d(p',p)<ε}が Uに含まれることです。 開集合族の定義を満たすかどうか・・・ φ∈Gは「p∈φ⇒∃ε>0:{p'|d(p',p)<ε}⊂φ」が成り立つかどうか ですが、仮定の部分が偽なので、これは正しいことになります。 よってφ∈G X∈Gは明らかでしょう。 U1,…Un∈Gとすると、p∈U1∩…∩Unならば、任意のi=1,…,nに対して p∈Uiなので、{p'|d(p',p)<εi}⊂Uiとなるεi>0が選べて、この中の 最小のものをεとすれば、これは有限個の正数の最小値なのでε>0 であり、任意のi=1,…,nに対して{p'|d(p',p)<ε}⊂Uiとなり、したが って、{p'|d(p',p)<ε}⊂U1∩…∩Un。すなわち、pはU1∩…∩Unの 内点であり、pは任意なのでU1∩…∩Un∈Gです。 {Ui|i∈I}⊂G(Iは添え字の集合で、可算である必要はない。)とし て、p∈∪(i∈I)Uiとすると、あるj∈Iに対してp∈Ujであり、pのある 近傍がUjに含まれ、Uj⊂∪(i∈I)Uiなので∪(i∈I)Uiにも含まれる ことがわかり、したがってpは∪(i∈I)Uiの内点で、∪(i∈I)Ui∈G。 無限個の共通集合は開集合になるとは限らないのは、上のεiの最小値 を考えるところで、無限個の正数の最小値が存在するとは限らないこ とからわかると思います。

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  • 回答No.4

#1です. もうすでにご指摘がありますが あくまでも「開基」です. 開基と位相は違います.

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  • 回答No.3
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

G={{x∈X;d(x,y)<r};y∈X,r∈R} これは、ちょっと違いますね。 B={{x∈X;d(x,y)<r};y∈X,r∈R}としたとき、Bは開集合の基になりますから、GはBの任意の要素の和集合を要素(開集合)とする集合でなければなりません。

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質問者からのお礼

ご回答有難うございます。 > GはBの任意の要素の和集合を要素(開集合) > とする集合でなければなりません。 えーと、つまり、 その距離によって定められる開集合族をGとして G:={∪[A∈C]A∈2^X ; C⊂B} と採ればいいんですよ。 (i) Φ∈Gである事は Φ∈Bなので(∵Φ={x∈X;d(x,y)<0}∈B)C=Φと採れば、∪[A∈C]A=Φだから Φ∈Gですよね。 (ii) X∈Gである事は ∪[A∈C]A⊂Xは明らかなので∪[A∈C]A⊃Xを言えばよい。 ∪[A∈C]A⊃XとなるCとしてBを採ればよい。 (∵∀t∈Xに対して、t∈{x∈X;d(x,t)<1}∈Bという風にtを含むBの元が必ず存在するから∪[A∈B]A⊃X) (iii) (任意個の和集合がGの元になる)∀H⊂2^G,∪[a∈H]a∈Gである事は ∀h1,h2∈Gに対して、h1=∪[A∈C1]A,h2=∪[A∈C2]A (C1,C2⊂2^B)と書け、 G∋∪[A∈C1∪C2]A (∵C1∪C2⊂2^B) =(∪[A∈C1]A)∪(∪[A∈C2]A) =h1∪h2 から言える。 で正しいですかね(あまり自信無し)。 (iv) ∀h1,h2,…,hn∈Gに対して、h1∩h2∩…∩hn∈Gである事は (∪[A∈C1]A)∩(∪[A∈C2]A)∩…∩(∪[A∈Cn]A) =∪[A∈∩[i=1,2,…,n]Ci]A (∵ド・モルガンの法則) ∈G (∵∩[i=1,2,…,n]Ci⊂2^B) (i),(ii),(iii),(iv)よりXはGを位相として位相空間をなす。 で正しいでしょうか?

  • 回答No.1

R^nと全く同じです. すなわち,R^nの絶対値の代わりに距離dを用います. 開球を開基として位相を構築するだけです.

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質問者からのお礼

ご回答有難うございます。 R^nでならG={{x∈R^n;|x-y|<r};y∈R^n,r∈R}という集合族でしょうか? とするとXでなら G={{x∈X;d(x,y)<r};y∈X,r∈R} となりましょうか? 勘違いしておりましたらご指摘戴ければ幸いでございます。

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