集合・位相

質問

集合・位相初心者です。
授業で開集合と閉集合、近傍の定義を教えてもらったのですが、理解できず、困っています。
以下は、授業で使っているプリントに載っている定義です。

X:集合　T:Xの部分集合からなる集合族　(X,T):位相空間
とする。
Xの部分集合UがTの元であるとき、Uを開集合という。
また、Xの部分集合Fの補集合がTの元であるとき、Fの閉集合という。

点x∈Xに対して
x∈U゜
を満たすXの部分集合Uを近傍という。また、このような近傍全体のなす集合族をxの近傍系といい、U(x)で表す。

具体的な例で教えて頂けると助かります。
例えば、集合X={1,2,3,4,5}、位相T={φ,{3},{4},{3,4},{1,3},{1,3,4},X}として、位相空間(X,T)をつくると、この(X,T)の開集合、閉集合、点3の近傍（点は適当に選びました）はどうなるのか。

集合・集合は初心者なので、詳しく教えて頂けると嬉しいです。
ご教授、よろしくお願い致します。

回答No.2

arrysthmia

(X,T) が位相空間になるためには、
T がいくつかの条件(公理)を満たすことが必要です。
X の部分集合の族なら何でも
T に成れる訳ではありません。
プリントに戻って、「開集合族」の定義を確認のこと。
実際、質問文中の例は、位相空間になっていません。

お礼

もう少し、自分で考えて、また質問させて頂きます。
アドバイスありがとうございました。

補足

質問中の例は、プリントに載っていた問題で、近傍を自分で足しただけなのですが、位相空間になっていないということは、ミスということですね。すみません。
このようなX,Tで教えて頂けると、助かります。

ご教授よろしくお願い致します。

回答No.1

koko_u_u

まずは、あなたが挙げた例が位相空間を成していることの証明を補足にどうぞ。

お礼

もう少し自分で考えてみようと思います。
そして、また質問させて頂きたいと思います。

ご意見ありがとうございました。

補足

(1)φ∈T,X∈Tは明らか。
(2)∀U,V∈T⇒U∩V∈Tを示す。
U∩Vの表を作る。（見にくくてすみません）
U ＼ V | φ {3} {4} {3,4} {1,3} {1,3,4} X
φ｜ φ φ φ φ φ φ φ
{3}｜φ {3} φ {3} {3} {3} {3}
{4}｜φ φ {4} {4} φ {4} {4}
{3,4}｜φ {3} {4} {3,4} {3} {3,4} {3,4}
{1,3}｜φ {3} φ {3} {1,3} {1,3} {1,3}
{1,3,4}｜φ {3} {4} {3,4} {1,3} {1,3,4} {1,3,4}
X｜φ {3} {4} {3,4} {1,3} {1,3,4} X
よって、U∩V∈T

(3)∀e⊂T⇒∪_(U∈e) U ∈Tを示す。
(2)と同じようにU∪Vの表を作る。
U ＼ V | φ {3} {4} {3,4} {1,3} {1,3,4} X
φ｜φ {3} {4} {3,4} {1,3} {1,3,4} X
{3}｜{3} {3} {3,4} {3,4} {1,3} {1,3,4} X
{4}｜{4} {3,4} {4} {3,4} {1,3,4} {1,3,4} X
{3,4}｜{3,4} {3,4} {3,4} {3,4} {1,3,4} {1,3,4} X
{1,3,4}｜{1,3,4} {1,3,4} {1,3,4} {1,3,4} {1,3,4} {1,3,4} X
X｜X X X X X X X
よって、U∪V∈T

したがって、(X,T)は位相空間。

どうでしょうか？
プリントに載っていた解き方を使いました。ある位相の基を使ってもできるみたいですが、そちらの方もまだ理解できておらず…すみません。

ご教授よろしくお願い致します。