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位相空間のコンパクト化の問題で困っています。

最初に問題と回答を写します (X,〇)、(X',〇')、(X'',〇'') をそれぞれ 〇, 〇', 〇''を開集合系とする位相空間 f:X→X' g:X'→X'' を連続写像とする 問:Y⊂X がコンパクトであるとき f(Y) がコンパクトになることを証明せよ 答:ц={U(λ)|λ∈Λ} を f(Y) の開被覆とすると f が連続写像であることより ц'={f^(-1)・(U(λ)) |λ∈Λ} は Y の開被覆となる Y はコンパクトであるから,ある ц' の部分被覆 {f^(-1)・(U(λ1))、f^(-1)・(U(λ2))、…、f^(-1)・(U(λn))} が存在する。このとき {U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)} が ц の部分被覆になるのは容易に分かるので f(Y) はコンパクト ■ この最後のところで、どうして {U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)} が цの部分被覆になるのかが分からないので教えて欲しいです。 よろしくお願いします。別解などありましたら歓迎です。

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任意のy∈f(Y)についてf(x)=yとなるx∈Yが存在する。 {f^(-1)・(U(λ1))、f^(-1)・(U(λ2))、…、f^(-1)・(U(λn))} がYの被覆だから、あるλi があってx∈f^(-1)・(U(λi))、すなわち y∈U(λi)。よって{U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)}はYの被覆

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納得できました!模範な回答ありがとうございます。

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その他の回答 (1)

  • 回答No.1

「容易にわかる」と書いてある時は大抵、落ち着いて順を追って考えれば分かります。 まずは「部分被覆」の定義を補足にどうぞ。

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質問者からのお礼

レスありがとうございます。 参考にさせてもらいます。

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