• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

位相空間について

次の問題がわかりません。。 実数の集合Rにおいて、次の部分集合族Oを考える。 まずR,φ∈Oである。 U≠R,φのとき、U∈O⇔U=R-A(A:有限集合)と定義する。 (1)Oが開集合系であることを示せ (2)写像f:(R,O)→(R,O) f(x)=x^2は連続であることを示せ。 (3)写像g:(R,O)→(R,O) g(x)=sin x は連続ではないことを示せ。 (1)については ()R、φ∈Oは定義よりOK ()U1、U2∈O⇒U1∩U2∈Oは無限集合の積集合は無限集合 ()Wλ∈O⇒∪Wλ∈Oは無限集合の和集合は無限集合 な感じでよろしいでしょうか? (2)はf(x)に値域が0≦f(x)≦∞であるから任意のU∈Oに対してf‐1(U)は無限集合 (3)はg(x)の値域が-1≦g(x)≦1であるから任意のW∈Oに対してg‐1(W)は有限集合 みたいな感じでよろしいのでしょうか? 解答や書き方がわからなくて困ってます・・・

noname#132593

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数79
  • ありがとう数4

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

>(3)はW=R-{0}としたときg‐1(W)=R-{nπ}(n=0,1,2・・・)となり、{nπ}は無限集合となるのでg‐1(W)はOに含まれないということでしょうか? そう.これでg(x)=sin(x)が この位相において連続ではないことがわかる. #ある開集合Uに対して, #g^{-1}(U)が開集合ではないことを示せばいいから 本質は,sin(x)が周期関数だから, 有限個の点の逆像が無限集合になるということ. (2)に関しても同様に具体的な開集合に対して 実際に逆像を求めてみればいいのです. たとえば,U=R-{1}とかすると f^{-1}={1,-1}でしょう. だから,f^{-1}(R-{1}) = R-{-1,1} y=x^2のグラフを描いてみればほとんど自明. y軸上に有限個の点をとれば それの逆像をx軸上に描ける. そうすれば,この位相での任意の開集合の逆像が どういう形になるか容易にわかります. 式で一気にかけば U=R-{a1,a2,...,an} (a1,..ai <0, ai+1,...,an>=0) に対して f^{-1}(U) = R - ∪_{k=i,..,n} {x | x^2 = ak} でしょ? こういう問題は,題意を理解するために 簡単な具体例で少し計算するといいのです.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます! すごくわかりやすかったです!確かに今考えてみれば周期関数だからそうなりますよね。具体例で計算すれば見えてくるんですね。。。 (2)についても参考にして自分なりにまとめてみたいと思います。 本当に助かりました!ありがとうございます! お世話になりました。

関連するQ&A

  • 位相空間の本で

    読んでいてあまりわからない所が2点ありまして、 1.XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れると、   Xの部分集合Cがコンパクト ⇔ Cが有限集合 という部分と、 2.Xをコンパクトハウスドルフ空間、Yをハウスドルフ空間とするとき、   写像f:X→Yが全単射連続なら逆像f-1:Y→Xも連続になる という部分に疑問が残りました。 1.については、コンパクト⇒閉集合であることや、Cが有限集合なら有限個の開被覆で覆えるからコンパクトである、ということが使える(?)のではじめの「XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れる」部分が必要ないのではないかとも思うのですが・・・ 2.については、Xがコンパクトハウスドルフ空間ならその部分集合Cもコンパクトでその写像はやっぱりコンパクトで・・・その逆像もコンパクトで・・・・? どこから連続の議論に持っていけばよいのかが分かりませんでした。 「証明は読者に委ねよう」というお得意の言い回しで飛ばされてしまっていて、なんだか消化不良のままです>< ご返答よろしくお願い致します。

  • 有限集合からなる位相空間における写像の連続性

    ある位相空間Xから別の位相空間Yへの写像fが連続であるとは、Yの任意の開集合Oの逆像f^-1(O)が開集合であると定義されていると思いますが、この定義に従うと、有限集合に位相を入れた位相空間Xからの別の位相空間Yへの写像は、位相空間Xの集合が全部開集合となり、必ず連続になるのでしょうか。

  • 位相空間の問題なんですが…

    (X,d)距離空間とし、X=A∪Bにおいて 連続写像 f:(A,d)→(Y,ρ)      g:(B,d)→(Y,ρ)であり 写像 h:(X,d)→(Y,ρ)       f(x) if x∈A h(x)={             と定義する。       g(x) if x∈B       このときA、B共に(X,d)の開集合(閉集合)ならば、hは連続であることを証明せよ。 という問題です。わかる方、証明のアイデアだけでも結構です。宜しくお願いします。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

>(1)をまずやってみました。 一ヶ所間違いがあります. >∪Wλ=∪(R-Aλ) >    =R-∪Aλ >∪Aλは有限集合なので∪Wλ∈O ∪と∩の取り違い. 有限集合の和集合は有限とは限らない.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます! (3)はW=R-{0}としたときg‐1(W)=R-{nπ}(n=0,1,2・・・)となり、{nπ}は無限集合となるのでg‐1(W)はOに含まれないということでしょうか? (2)なんですが、W=R-Aとしてf‐1(W)がOに含まれることがうまくいえません・・・ しつこくてすみませんが、(2)についてヒントをいただけないでしょうか?

  • 回答No.1

>()U1、U2∈O⇒U1∩U2∈Oは無限集合の積集合は無限集合 >()Wλ∈O⇒∪Wλ∈Oは無限集合の和集合は無限集合 >な感じでよろしいでしょうか? だめです.きちんと定義に従ってください そもそもOに属することと無限集合であることは まったく違うことです. #無理数全体は無限集合だが,けっして実数全体から #有限集合をとりのぞくことでは得られない #したがって,無理数全体はOには入らない無限集合 したがって, >(2)はf(x)に値域が0≦f(x)≦∞であるから任意のU∈Oに対してf‐1(U)は無限集合 これもだめです. そもそも,値域がどうかかわっているのか不明(説明不足). きちんと,f^{-1}(U)を考えて,Oの定義に当てはめてください. >(3)はg(x)の値域が-1≦g(x)≦1であるから任意のW∈Oに対してg‐1(W)は有限集合 これはもっとだめです. 値域のかかわりも不明(説明不足)だし,そもそも 本当にg^{-1}(W)はつねに有限ですか? たとえばW=R-{0}とした場合,g^{-1}(W)は? #g^{-1}(R-{0})がわかれば「連続ではない」理由はみえるわけで #決して値域がどうこうということ話ではないことも見える.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます! しばらく考えてまた補足の欄に考えを書こうと思うのでまたよろしくお願いします。

質問者からの補足

(1)をまずやってみました。 U1、U2∈OとするとA1、A2を有限集合として U1=R-A1, U2=R-A2と表せる。 U1∩U2=(R-A1)∩(R-A2)      =R-(A1UA2) A1UA2は有限集合なのでU1∩U2∈O 次に任意のλ∈Λに対してWλ∈Oとすると Wλ=R-Aλ(Aλは有限集合) と表せる。このとき、 ∪Wλ=∪(R-Aλ)     =R-∪Aλ ∪Aλは有限集合なので∪Wλ∈O これで大丈夫でしょうか?

関連するQ&A

  • 位相空間

    位相初心者です。次の問題がよく分かりません。 問.実数直線R1の位相をTとする。   BをTに各無理数についてそれだけを元とするRの部分集合を   すべてつけ加えたRの部分集合族     B=T ∪ {{x}:x∈P}   とする。このBにおいて生成されたR上の位相T_Mに対して、   位相空間(R,T_M)をMで表す。     このMについて、次を求めよ。(証明付きで。)  (1) i(Q)、i(P) (iは内部を表す。)  (2) Qの閉包、Pの閉包 (1)は、Qは有理数全体の集合だから、Qに含まれるMの開集合全体の 和集合は、Φ となる。 (2)も同様に、Qを含むMの閉集合全体の共通集合はQである。 こんな感じでいいのでしょうか。もっと適当な証明があれば、 教えてください。

  • 位相空間の定義に関する疑問

    位相空間の定義: 集合Sが次の条件を充たす集合族をもつとき「位相空間」とよぶ 1. 空集合と、S自体がその集合族に属する 2. 集合族に属する集合の交わりが集合族に属する 3. 集合族に属する無限個の集合の和集合が集合族に属する というのがありますが、1番目の条件は当然として、2番目と3番目の条件で、どうして2は有限個の集合の交わりで定義され、3だけが無限個の集合の和集合で定義されているのかわかりません。例えば、2の条件を「集合族に属する無限個の集合の交わりが集合族に属する」と書き換えるのはどうしてだめなんでしょうか?(具体的に、ちょうど良い例などが浮かばずに困っています。)

  • 位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方い

    位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方いましたら、一問でもいいので、教えてくださると助かります…! 次の各集合が開集合あるいは閉集合いずれであるか判定せよ。 (1) (1,4)U{5}(Rの部分集合として) (2) {( x , y )∈R^2 ; 3 < x + y , x^2 > y}(R^2の部分集合として) (3) {( x , y , z )∈R^3 ; x^2 + y^2 + z^2≦ 1}(R^3の部分集合として)

  • 位相の定義ついて

    位相の定義ついて 質問させていただきます。 定義の仕方は参考書等で異なるということは理解していますが、私の持っている参考書には以下のように記載されています。 (定義)-- 集合XとXの部分集合族Oについて、Oが次の条件を満たしている場合、OをX上の位相と呼ぶ (O1) Xおよび空集合0はOの元である (O2) Oの任意の部分集合Т'に対して、Т'の元の和集合がOの元である    すなわち、    ∪{T:T∈Т'}∈O    が成り立つ (O3) Oの任意有限個の元T_1,T_2,・・・,T_nに対してそれらの共通集合がOの元である    すなわち、    ∩{T:i = 1,2,・・・,n}∈O    が成り立つ -- ここで、疑問があります。 (O2)は以下のように言い換えることはできますか? (O2) Oの任意有限個の元T_1,T_2,・・・,T_nに対してそれらの和集合がOの元である    すなわち、    ∪{T:i = 1,2,・・・,n}∈O    が成り立つ (O3)は以下のように言い換えることはできますか? (O3) Oの任意の部分集合Т'に対して、Т'の元の共通集合がOの元である    すなわち、    ∩{T:T∈Т'}∈O    が成り立つ 「Oの任意の部分集合Т'の元」 と 「Oの任意有限個の元T_1,T_2,・・・,T_n」 の違いが良く分かっていないのです。。。 どなたか、良い具体例などを交えて、分かりやすく解説していただけませんか? 教科書だけ読んでいるとうまくイメージできません。。。

  • 位相空間(入門レベル)

    次の問題の証明がわかりません。 問.位相空間(X,T)の2つの部分集合A、Bについて、   Aが開集合のとき、           A∧B ̄ ⊂(A∧B) ̄   が成り立つことを証明せよ。 いくつかの参考書を見て、以下の回答例があったのですが、         x∈A∧B ̄ とし、A’をxを含む任意の開集合とすれば、  A∧A'もxを含む開集合で、  x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。  すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。  したがって、          x∈(A∧B) ̄ この内容は理解できるのですが、証明として、4行目の「≠Φ でなければならない」が何となく気になります。(うまく伝えられないのですが)この回答は適当(ふさわしい)ですか。

  • 位相空間の収束の問題

    fを位相空間Xから実数Rへの連続写像、A⊂Xとする。任意のx∈Aに対して、f(x)=0のとき、任意のx∈A'(A':Aの閉包)に対して、f(x)=0であることを示したいのですが…よくわかりません。 A'がAの閉包ということは、A'はAを含む最小のXの閉集合なので、今の条件のとき、A'についてもf(x)=0が言えるのかな…ということはわかるのですが、きちんと文章にして示すことができません。 回答よろしくお願いします。。。

  • 位相空間における連続写像の条件について

    (X,T),(Y,U)を位相空間とし、fをXからYへの写像とする。 このとき、Xの部分集合Aに対し、f(cl(A))⊂cl(f(A))ならば、 fが(X,T)から(Y,U)への連続写像であるといえますか? ※cl(A)はAの閉包を示す。

  • 自身への写像が全単射となることの証明

    (1) 写像f:A→Aとする。Aが有限集合であるとき、写像fが単射ならばfは全単射である事を示せ。 (2) Aが無限集合であるとき、fは全単射か。そうであれば証明せよ。そうでないなら反例を示せ。 上の問題の(1)は以下のように考えました。 f(A) は A の部分集合。 f(A)≠A と仮定すると、A とその真部分集合との間に全単射が存在したことになる。これは、無限集合の定義であるため、有限集合は全単射である。 このような証明で十分なのでしょうか?また、上のように考えたのでAが無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。 わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

  • 可測空間と位相空間の関係

    基本的なことだと思うのですが、どうしてもわからず質問させて頂きます。 測度論を勉強しているのですが、可測空間と位相空間の関係がわかりません。 非空な集合Xを用いて、そのσ代数Σと開集合系τをそれぞれ定義します。 そうするといずれもφとXを含み、(ド・モルガンの法則を用いて)有限のunionにもとじ、任意のunionにも閉じているので、同じようにみえます。 テキストを見ると、位相の構造の入ったσ代数をボレルσ代数としていますが、ボレルσ代数にならないσ代数が存在しない気がします。 初歩的なことかもしれなく恐縮ですが、教えていただければと思います。

  • 位相についてのご質問です。

    位相について質問です。 「集合Sの部分集合族Kが (1)O(空集合)、SがKに含まれる (2)集合A,BがKに含まれるならAとBの共通集合もKに含まれる。 (3)任意のKの元Fmに対してFmの全和集合もKに含まれる。 以上を満たす時,KはSに位相を与えるといい(S,K)を位相空間という。 そして、Kの元を開集合といいKを開集合系という。」 このKの元を開集合といいという所からさっぱり分かりません。 どこがどう開集合なんですか? 例えばS={1,2,3}とすればK={O,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} となってこれは(1)から(3)を満たすので(S,K)は位相空間でKの元は開集合にもなってないと思うのですが。