• ベストアンサー
  • 困ってます

位相空間の本で

読んでいてあまりわからない所が2点ありまして、 1.XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れると、   Xの部分集合Cがコンパクト ⇔ Cが有限集合 という部分と、 2.Xをコンパクトハウスドルフ空間、Yをハウスドルフ空間とするとき、   写像f:X→Yが全単射連続なら逆像f-1:Y→Xも連続になる という部分に疑問が残りました。 1.については、コンパクト⇒閉集合であることや、Cが有限集合なら有限個の開被覆で覆えるからコンパクトである、ということが使える(?)のではじめの「XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れる」部分が必要ないのではないかとも思うのですが・・・ 2.については、Xがコンパクトハウスドルフ空間ならその部分集合Cもコンパクトでその写像はやっぱりコンパクトで・・・その逆像もコンパクトで・・・・? どこから連続の議論に持っていけばよいのかが分かりませんでした。 「証明は読者に委ねよう」というお得意の言い回しで飛ばされてしまっていて、なんだか消化不良のままです>< ご返答よろしくお願い致します。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数314
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

あまりマニアックな位相空間論は今後の数学の学習に必ずしも必要だとは思わないのですが、位相空間の問題を解くときは常に次のことに注意してください。すなわち、 ~~な位相空間においては、……なら××× という命題で、~~を常に意識するようにしてください、ということです。 たとえば、「コンパクト⇒閉集合」と思い込まれているようですが、これはハウスドルフ空間でなければ、正しくはありません。すべての部分集合を開集合とする位相(離散位相と呼びます)はハウスドルフ位相なので、したがって、コンパクト⇒閉集合が成り立つのです。自動的には成り立ちません。 ちなみに有限集合はどんな位相空間でもコンパクト(これはコンパクトの定義から明らか)ですが、コンパクト集合が常に有限集合かというとそうではありません。ユークリッド空間なら閉単位球は明らかに無限集合だがコンパクトです。したがって何の仮定もなく、『Xの部分集合Cがコンパクト ⇔ Cが有限集合』が成り立つわけではないのです。 2に関しては、超有名問題ですから、もう一度ゆっくりと吟味されたいですが、連続の定義を思い出せばよいです。いくつか同値な命題がありますが、いちばん使いやすいのは、閉集合の逆像が閉集合というものです。つまりXの任意の閉集合Fをf-1で引き戻すと、Yの閉集合になれば連続だ、というわけです。f-1で引き戻す、ということは(f-1)-1を考えることですから、要するにf(F)がYの閉集合になれば、f-1は連続ということになります。 もう一度まとめると、f-1が連続を示すためには、Xの任意の閉集合Fに対してf(F)が閉集合であることを示せばよい、ということです。さてFはXの閉集合だからコンパクトです。連続写像はコンパクト集合をコンパクト集合にうつします。つまりf(F)はYのコンパクト集合です。ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合です。というわけで証明が終わるわけですね。重要な定理を三つ述べました。『~~な位相空間においては、……なら×××』によく注意して、復習されてみてはどうでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

>「コンパクト⇒閉集合」と思い込まれているようですが、 >これはハウスドルフ空間でなければ、正しくはありません。 ご指摘もっともですね>< つい先日理解したばかりであったのに「距離空間において」の部分をすっかり忘れてしまってい、中途半端な理解になっていました。激しく反省しております。 1.についてはハウスドルフ位相において←のほうをしっかり考え直してみたいと思います。 2.のほうはお返事の内容で理解できました。今一度自分の言葉で書けるようにしておきたいと思います。 ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 位相空間について

    次の問題がわかりません。。 実数の集合Rにおいて、次の部分集合族Oを考える。 まずR,φ∈Oである。 U≠R,φのとき、U∈O⇔U=R-A(A:有限集合)と定義する。 (1)Oが開集合系であることを示せ (2)写像f:(R,O)→(R,O) f(x)=x^2は連続であることを示せ。 (3)写像g:(R,O)→(R,O) g(x)=sin x は連続ではないことを示せ。 (1)については ()R、φ∈Oは定義よりOK ()U1、U2∈O⇒U1∩U2∈Oは無限集合の積集合は無限集合 ()Wλ∈O⇒∪Wλ∈Oは無限集合の和集合は無限集合 な感じでよろしいでしょうか? (2)はf(x)に値域が0≦f(x)≦∞であるから任意のU∈Oに対してf‐1(U)は無限集合 (3)はg(x)の値域が-1≦g(x)≦1であるから任意のW∈Oに対してg‐1(W)は有限集合 みたいな感じでよろしいのでしょうか? 解答や書き方がわからなくて困ってます・・・

  • 有限集合からなる位相空間における写像の連続性

    ある位相空間Xから別の位相空間Yへの写像fが連続であるとは、Yの任意の開集合Oの逆像f^-1(O)が開集合であると定義されていると思いますが、この定義に従うと、有限集合に位相を入れた位相空間Xからの別の位相空間Yへの写像は、位相空間Xの集合が全部開集合となり、必ず連続になるのでしょうか。

  • 位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方い

    位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方いましたら、一問でもいいので、教えてくださると助かります…! 次の各集合が開集合あるいは閉集合いずれであるか判定せよ。 (1) (1,4)U{5}(Rの部分集合として) (2) {( x , y )∈R^2 ; 3 < x + y , x^2 > y}(R^2の部分集合として) (3) {( x , y , z )∈R^3 ; x^2 + y^2 + z^2≦ 1}(R^3の部分集合として)

  • 位相空間

    位相空間(X,T)の2つの部分集合A,Bについて (1) (A∩B)_ ⊂ A_∩B_    ※『_』は閉集合 この証明の方法を詳しく教えて下さい! 両辺は=(イコール)にはならないのでしょうか?? (2) Aが開集合のとき A∩B_ ⊂(A∩B)_ この証明方法も詳しく教えて下さい。お願いします。  

  • 位相空間

    位相初心者です。次の問題がよく分かりません。 問.実数直線R1の位相をTとする。   BをTに各無理数についてそれだけを元とするRの部分集合を   すべてつけ加えたRの部分集合族     B=T ∪ {{x}:x∈P}   とする。このBにおいて生成されたR上の位相T_Mに対して、   位相空間(R,T_M)をMで表す。     このMについて、次を求めよ。(証明付きで。)  (1) i(Q)、i(P) (iは内部を表す。)  (2) Qの閉包、Pの閉包 (1)は、Qは有理数全体の集合だから、Qに含まれるMの開集合全体の 和集合は、Φ となる。 (2)も同様に、Qを含むMの閉集合全体の共通集合はQである。 こんな感じでいいのでしょうか。もっと適当な証明があれば、 教えてください。

  • 自身への写像が全単射となることの証明

    (1) 写像f:A→Aとする。Aが有限集合であるとき、写像fが単射ならばfは全単射である事を示せ。 (2) Aが無限集合であるとき、fは全単射か。そうであれば証明せよ。そうでないなら反例を示せ。 上の問題の(1)は以下のように考えました。 f(A) は A の部分集合。 f(A)≠A と仮定すると、A とその真部分集合との間に全単射が存在したことになる。これは、無限集合の定義であるため、有限集合は全単射である。 このような証明で十分なのでしょうか?また、上のように考えたのでAが無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。 わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

  • 位相空間の問題なんですが…

    (X,d)距離空間とし、X=A∪Bにおいて 連続写像 f:(A,d)→(Y,ρ)      g:(B,d)→(Y,ρ)であり 写像 h:(X,d)→(Y,ρ)       f(x) if x∈A h(x)={             と定義する。       g(x) if x∈B       このときA、B共に(X,d)の開集合(閉集合)ならば、hは連続であることを証明せよ。 という問題です。わかる方、証明のアイデアだけでも結構です。宜しくお願いします。

  • 位相空間における連続写像の条件について

    (X,T),(Y,U)を位相空間とし、fをXからYへの写像とする。 このとき、Xの部分集合Aに対し、f(cl(A))⊂cl(f(A))ならば、 fが(X,T)から(Y,U)への連続写像であるといえますか? ※cl(A)はAの閉包を示す。

  • 位相空間の証明

    (問題) 位相空間(X,T)とする。自然数の集合N={1,2,3,…}を添字集合とするXの部分集合族{An:n&#8714;N}を考える。 An={1/n}⊂Rとおくとき、∪{(An ) :n&#8714;N}と(∪{An:n&#8714;N} ) &#773;とは等しいかどうかを述べ、証明せよ。 ( )は閉集合を表しています テキストを読んでもまったく分かりません。 よろしくお願いします。

  • 位相空間のコンパクト化の問題で困っています。

    最初に問題と回答を写します (X,〇)、(X',〇')、(X'',〇'') をそれぞれ 〇, 〇', 〇''を開集合系とする位相空間 f:X→X' g:X'→X'' を連続写像とする 問:Y⊂X がコンパクトであるとき f(Y) がコンパクトになることを証明せよ 答:ц={U(λ)|λ∈Λ} を f(Y) の開被覆とすると f が連続写像であることより ц'={f^(-1)・(U(λ)) |λ∈Λ} は Y の開被覆となる Y はコンパクトであるから,ある ц' の部分被覆 {f^(-1)・(U(λ1))、f^(-1)・(U(λ2))、…、f^(-1)・(U(λn))} が存在する。このとき {U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)} が ц の部分被覆になるのは容易に分かるので f(Y) はコンパクト ■ この最後のところで、どうして {U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)} が цの部分被覆になるのかが分からないので教えて欲しいです。 よろしくお願いします。別解などありましたら歓迎です。