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位相

定義:群Gが位相空間Xに不連続に作用するとは、GがXに作用しており、Xの任意の2点x,yに対し各々の近傍U,Vを適当に取ると、 #{Gの元g|gUとVの共通部分が空でない}が有限 が成立しているときを言います。 そこでXが局所コンパクトならば、上の定義の後半部分は、Xの任意のコンパクト集合A,Bに対して #{Gの元g|gAとBの共通部分が空でない}が有限 と同値なんですが、なぜ同値かわかりません。 どうぞよろしくお願いします。。

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  • 回答No.4

確かに議論に穴がありましたので若干訂正させてください。Aの各点xに対してxの開近傍U_xと有限個の集合V_1,...,V_n(nはxによります)を次を満たすようにとります:∪V_j⊃B,{g:gU_x∩V_j≠φ}はすべてのjに対し有限集合. これによって有限個の開集合U_1,...,U_mと各U_kに対して有限個の開集合V(k)_1,...,V(k)_j(k)が次の条件を満たすようにとれます: ∪U_k⊃A,∪V(k)_r(r=1,..,j(k))⊃B ∀k, {g:gU_k∩V(k)_r≠φ}は有限集合 ∀k,r. この状況の下で {g:gA∩B≠φ}⊂∪∪{g:gU_k∩V(k)_r≠φ} (最初の和はk、次の和はrに関してで各kに対してrは1からj_kまで動きます) なので最後の集合は有限集合であることは開集合族のとりかたより分かります。これでどうでしょうか? ちょっと煩雑な記述になってしまいましたが多分うまくいってると思います。

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  • 回答No.3

まずXにおけるコンパクト集合A,Bをとります。各(x,y)∈A×Bに対して最初の定義にある性質を満たす開近傍U_x,V_yをとります。A×Bはコンパクトなので有限個の{U_x}×{V_y}によって覆われます。そこでこれらをU_1×V_1,....,U_m×V_mとします。そのとき {g∈G:gA∩B≠φ}⊂{g∈G:g(∪U_m)∩(∪V_j)≠φ}(∪の記号はそれぞれm,jに関する有限和)={g:(∪gU_m)∩(∪V_j)≠φ}={g:∪∪(gU_m∩V_j)≠φ}で最後の集合の元の数は有限であることは仮定より従います。 この時点で局所コンパクト性は使ってません。 逆を示すときに用います。局所コンパクトだとして下の定義から出発すると任意の2点x,yに対しある開近傍U,Vが存在しそれぞれの閉方がコンパクトでかつ下の定義を満たすようにとれます。したがってこのU,Vは明らかに最初の定義をみたします。

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質問者からのお礼

ringohatimituさんありがとうございます。 ちょっと疑問なんですが、 {g:(∪gU_m)∩(∪V_j)≠φ}={g:∪∪(gU_m∩V_j)≠φ}で最後の集合の元の数は有限。のところがわかりません。。m,jがいろんなところを動くので、任意のm、jに対して {g:gU_m∩V_j≠φ}が有限であるようにしなきゃいけないような気がするのですが。。

  • 回答No.2

すみませんでした おかしくなくないと思いました. (x≠yは必要ですよね) 証明は、何となくですが、コンパクトの性質を使って、任意の開被覆から有限個の部分開被覆がえられることがptだと思いますが・・・ X:locally compact とすると  あるU,V:x,yの近傍;#{g∈G|gUとVの共通部分≠φ}<∞ ⇔あるU,V:x,yのコンパクト近傍;#{g∈G|gUとVの共通部分≠φ}<∞ は定義から殆ど明らかだと思います そして、  あるU,V:x,yのコンパクト近傍;#{g∈G|gUとVの共通部 分≠φ}<∞ ⇔ ∀U,V:x,yのコンパクト近傍;#{g∈G|gUとVの共通部 分≠φ}<∞ も成り立つと思います ∵  ← 明らか  → 任意のコンパクト近傍はどんな開被覆をとってきても有限個の部分開被覆があるので、とってきた有限個の部分開被覆の内x,yを含む最小のコンパクト近傍があります その最小のコンパクト近傍はあるコンパクト近傍より小さく選ぶこともできるので のような混乱しながら考えていましたが X:compact⇒X:locally compactなので X:compactならA,B=Xとしてしまえば {Gの元g|gAとBの共通部分が空でない} =Gの元g|gXとXの共通部分が空でない} =Gとなってしまうのでは?

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  • 回答No.1

定義:  群Gが位相空間Xに不連続に作用する :⇔ GがXに作用しており、   ∀x,y∈X,あるU,V:x,yの近傍; #{g∈G|gUV≠φ}<∞ ってこの定義U,V=Xとすると{g∈G|gUとVの交わり≠φ}=Gとなってしまうのでは? だから、#G=∞なら、X:locally compact以前におかしくない?(不連続にならなくないですか)

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 ∀x,y∈Xに対してうまくxの近傍U、yの近傍Vをとっってやると{g∈G|gUとVの交わり≠φ}<∞ってことなんで、U,V=Xとすると {g∈G|gUとVの交わり≠φ}=Gってなり#G=∞なら不連続にならないってのは、おかしいと思います。どうですか?

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