位相

質問

定義：群Gが位相空間Xに不連続に作用するとは、GがXに作用しており、Xの任意の2点ｘ,ｙに対し各々の近傍U,Vを適当に取ると、
＃｛Gの元ｇ｜ｇUとVの共通部分が空でない｝が有限
が成立しているときを言います。

そこでXが局所コンパクトならば、上の定義の後半部分は、Xの任意のコンパクト集合A,Bに対して
＃｛Gの元ｇ｜ｇAとBの共通部分が空でない｝が有限
と同値なんですが、なぜ同値かわかりません。

どうぞよろしくお願いします。。

回答No.4

ringohatimitu

確かに議論に穴がありましたので若干訂正させてください。Aの各点xに対してxの開近傍U_xと有限個の集合V_1,...,V_n（ｎはｘによります）を次を満たすようにとります：∪V_j⊃B,{g:gU_x∩V_j≠φ}はすべてのjに対し有限集合.

これによって有限個の開集合U_1,...,U_mと各U_kに対して有限個の開集合V(k)_1,...,V(k)_j(k)が次の条件を満たすようにとれます：
∪U_k⊃A,∪V(k)_r(r=1,..,j(k))⊃B ∀k,
{g:gU_k∩V(k)_r≠φ}は有限集合 ∀k,r.
この状況の下で
{g:gA∩B≠φ}⊂∪∪{g:gU_k∩V(k)_r≠φ}
（最初の和はｋ、次の和はｒに関してで各ｋに対してｒは１からj_kまで動きます）
なので最後の集合は有限集合であることは開集合族のとりかたより分かります。これでどうでしょうか？
ちょっと煩雑な記述になってしまいましたが多分うまくいってると思います。

回答No.3

ringohatimitu

まずＸにおけるコンパクト集合Ａ，Ｂをとります。各(x,y)∈A×Bに対して最初の定義にある性質を満たす開近傍U_x,V_yをとります。A×Bはコンパクトなので有限個の{U_x}×{V_y}によって覆われます。そこでこれらをU_1×V_1,....,U_m×V_mとします。そのとき
{g∈G:gA∩B≠φ}⊂{g∈G:g(∪U_m)∩(∪V_j)≠φ}(∪の記号はそれぞれｍ,ｊに関する有限和)={g:(∪gU_m)∩(∪V_j)≠φ}={g:∪∪(gU_m∩V_j)≠φ}で最後の集合の元の数は有限であることは仮定より従います。
この時点で局所コンパクト性は使ってません。
逆を示すときに用います。局所コンパクトだとして下の定義から出発すると任意の２点x,yに対しある開近傍U,Vが存在しそれぞれの閉方がコンパクトでかつ下の定義を満たすようにとれます。したがってこのU,Vは明らかに最初の定義をみたします。

お礼

ringohatimituさんありがとうございます。
ちょっと疑問なんですが、
{g:(∪gU_m)∩(∪V_j)≠φ}={g:∪∪(gU_m∩V_j)≠φ}で最後の集合の元の数は有限。のところがわかりません。。m,jがいろんなところを動くので、任意のｍ、ｊに対して
{g:gU_m∩V_j≠φ}が有限であるようにしなきゃいけないような気がするのですが。。

回答No.2

yumisamisiidesu

すみませんでした
おかしくなくないと思いました．
(x≠yは必要ですよね)

証明は、何となくですが、コンパクトの性質を使って、任意の開被覆から有限個の部分開被覆がえられることがptだと思いますが・・・

X:locally compact とすると
　あるU,V:x,yの近傍;#{g∈G｜ｇUとVの共通部分≠φ}<∞
⇔あるU,V:x,yのコンパクト近傍;#{g∈G｜ｇUとVの共通部分≠φ}<∞
は定義から殆ど明らかだと思います
そして、
　あるU,V:x,yのコンパクト近傍;#{g∈G｜ｇUとVの共通部
分≠φ}<∞
⇔　∀U,V:x,yのコンパクト近傍;#{g∈G｜ｇUとVの共通部
分≠φ}<∞
も成り立つと思います
∵
　←　明らか
　→　任意のコンパクト近傍はどんな開被覆をとってきても有限個の部分開被覆があるので、とってきた有限個の部分開被覆の内x,yを含む最小のコンパクト近傍があります
その最小のコンパクト近傍はあるコンパクト近傍より小さく選ぶこともできるので

のような混乱しながら考えていましたが

X:compact⇒X:locally compactなので
X:compactならA,B=Xとしてしまえば
｛Gの元ｇ｜ｇAとBの共通部分が空でない｝
=Gの元ｇ｜ｇXとXの共通部分が空でない｝
=Gとなってしまうのでは？

回答No.1

yumisamisiidesu

定義：
　群Gが位相空間Xに不連続に作用する
:⇔ GがXに作用しており、
　　∀x,y∈X,あるU,V:x,yの近傍; #{g∈G｜ｇUV≠φ}<∞

ってこの定義U,V=Xとすると{g∈G｜ｇUとVの交わり≠φ}=Gとなってしまうのでは？
だから、#G=∞なら、X:locally compact以前におかしくない？(不連続にならなくないですか)

お礼

ありがとうございます。
∀x,y∈Xに対してうまくｘの近傍U、ｙの近傍Vをとっってやると{g∈G｜ｇUとVの交わり≠φ}＜∞ってことなんで、U,V＝Xとすると
{g∈G｜ｇUとVの交わり≠φ}=Gってなり＃G=∞なら不連続にならないってのは、おかしいと思います。どうですか？