集合と位相の問題です。コンパクトについてなんですが良かったら回答お願いしますｍ（＿＿）ｍ

質問

コンパクトの定義です。
『位相空間Xの任意の開被覆 ｛K_α｝α∈A の中から
有限個の開集合 K_1、・・・・・、K_m をうまく選んで、
X＝K_1∪・・・∪K_m となるとき、Xはコンパクトであるという』

（１）このコンパクトの定義で重要な部分を指摘して下さい。

（２）Ｒはコンパクトではないことを示して下さい。

よろしくおねがいしますｍ（＿＿）ｍ

回答No.1

alice_38 · ベストアンサー

(1) 質問文中の定義は、
十分コンパクトに書いてあり(笑)、
冗長な部分はありません。
全ての語句が重要です。

(2) 開被覆の例として、
区間 (n-1,n+1) n∈整数 を
挙げてみればよいでしょう。
有限個では被覆できない理由を
考えてみください。

お礼

回答ありがとうございます！

私も（１）の意味がよくわからなくて・・・・；
やっぱり全部重要ですよね；

回答ありがとうございますｍ（＿＿）ｍ

補足

先に回答を頂いた方を良回答に選ばせて頂ました。

ありがとうございます♪

回答No.4

noname#221368

#2です。混乱を招くような事を述べてすみません。コンパクト＝準コンパクト＋分離（T2分離）が標準と思っていたものですから。用語の定義の問題で時間を空費するのは、もったいないです。

　やっぱりあの段落は、完全に忘れて下さい。

　#3さん、ご指摘ありがとうございます。

お礼

回答ありがとうございます！

すごく丁寧な詳しい回答本当に嬉しいです。

ありがとうございます(´ω｀*)

回答No.3

alice_38

参考:
「コンパクト」の語には歴史的な揺らぎがあり、
文脈に注意して読まねばらない場合があります。
とはいえ、現代では通常、
コンパクト = 被覆コンパクト です。

一部に、準コンパクト = 被覆コンパクト、
コンパクト = 準コンパクト + T2分離 とする
学派もありますが、標準ではありません。

古くは、コンパクト = 点列コンパクト、
ビコンパクト = 被覆コンパクト と言っていた
時代もあるので、
大変ややこしいですね。

お礼

回答ありがとうございます！

めっちゃややこしいですね・・・・；
頭がパンクしそうです（笑）

丁寧な回答本当に嬉しいです。

ありがとうございます★

回答No.2

noname#221368

この質問の真の意図は何なのだろう？、ってちょっと考えました。で、以下は完全な想像です。

　開被覆によるコンパクト（正確には、準コンパクト）の定義の意味（感覚）を得たい、という事かな？、と想像しました。
　ちなみにですが、コンパクト＝準コンパクト＋分離です。まぁ、Ｒは分離なので、この段落は忘れて下さい。

　ボルツァーノ・ワイヤシュトラウスの定理（Ｂ.Ｗ.定理と略記します）ってご存知ですか？。

　　Ｒ上の有界点列は、収束する部分列を持つ．

って奴です。

　　Ｂ.Ｗ.定理　⇔　有界な単調列は収束する．

ですが、右辺の点列の補集合を取ると、コンパクトの定義になります。つまり、Ｒ上では、

　　Ｂ.Ｗ.定理　⇔　コンパクト．

です。開被覆によるコンパクトの定義は、上記を、どんな場合にでも使えるように（Ｒ以外にも）一般化しただけの話だと思います。開被覆による定義の方が、便利なんですよ（目的は、Ｂ.Ｗ.定理の一般化）。そして上記の一般化が、

　　有限交叉性　⇔　コンパクト．

です。有限交叉性は、閉集合によるコンパクトの定義と思って良く、まさに右辺の開集合の補集合を取るだけです。一度、ご自分で証明される事をお奨めします。ご存知でしたら御免なさいですが、けっこう頭の体操レベルです^^。

　重要な部分ですが、自分だったら「任意の」の部分を揚げます。#1さんの(2)につながると思います。

お礼

回答ありがとうございます！

すごい詳しく書いていただいて・・とても嬉しいです！

ありがとうございます★