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  • 困ってます

集合と位相の問題です。コンパクトについてなんですが良かったら回答お願いしますm(__)m

コンパクトの定義です。 『位相空間Xの任意の開被覆 {K_α}α∈A の中から 有限個の開集合 K_1、・・・・・、K_m をうまく選んで、 X=K_1∪・・・∪K_m となるとき、Xはコンパクトであるという』 (1)このコンパクトの定義で重要な部分を指摘して下さい。 (2)Rはコンパクトではないことを示して下さい。 よろしくおねがいしますm(__)m

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.1

(1) 質問文中の定義は、 十分コンパクトに書いてあり(笑)、 冗長な部分はありません。 全ての語句が重要です。 (2) 開被覆の例として、 区間 (n-1,n+1) n∈整数 を 挙げてみればよいでしょう。 有限個では被覆できない理由を 考えてみください。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます! 私も(1)の意味がよくわからなくて・・・・; やっぱり全部重要ですよね; 回答ありがとうございますm(__)m

質問者からの補足

先に回答を頂いた方を良回答に選ばせて頂ました。 ありがとうございます♪

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4
noname#221368

#2です。混乱を招くような事を述べてすみません。コンパクト=準コンパクト+分離(T2分離)が標準と思っていたものですから。用語の定義の問題で時間を空費するのは、もったいないです。  やっぱりあの段落は、完全に忘れて下さい。  #3さん、ご指摘ありがとうございます。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます! すごく丁寧な詳しい回答本当に嬉しいです。 ありがとうございます(´ω`*)

  • 回答No.3

参考: 「コンパクト」の語には歴史的な揺らぎがあり、 文脈に注意して読まねばらない場合があります。 とはいえ、現代では通常、 コンパクト = 被覆コンパクト です。 一部に、準コンパクト = 被覆コンパクト、 コンパクト = 準コンパクト + T2分離 とする 学派もありますが、標準ではありません。 古くは、コンパクト = 点列コンパクト、 ビコンパクト = 被覆コンパクト と言っていた 時代もあるので、 大変ややこしいですね。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます! めっちゃややこしいですね・・・・; 頭がパンクしそうです(笑) 丁寧な回答本当に嬉しいです。 ありがとうございます★

  • 回答No.2
noname#221368

 この質問の真の意図は何なのだろう?、ってちょっと考えました。で、以下は完全な想像です。  開被覆によるコンパクト(正確には、準コンパクト)の定義の意味(感覚)を得たい、という事かな?、と想像しました。  ちなみにですが、コンパクト=準コンパクト+分離です。まぁ、Rは分離なので、この段落は忘れて下さい。  ボルツァーノ・ワイヤシュトラウスの定理(B.W.定理と略記します)ってご存知ですか?。   R上の有界点列は、収束する部分列を持つ. って奴です。   B.W.定理 ⇔ 有界な単調列は収束する. ですが、右辺の点列の補集合を取ると、コンパクトの定義になります。つまり、R上では、   B.W.定理 ⇔ コンパクト. です。開被覆によるコンパクトの定義は、上記を、どんな場合にでも使えるように(R以外にも)一般化しただけの話だと思います。開被覆による定義の方が、便利なんですよ(目的は、B.W.定理の一般化)。そして上記の一般化が、   有限交叉性 ⇔ コンパクト. です。有限交叉性は、閉集合によるコンパクトの定義と思って良く、まさに右辺の開集合の補集合を取るだけです。一度、ご自分で証明される事をお奨めします。ご存知でしたら御免なさいですが、けっこう頭の体操レベルです^^。  重要な部分ですが、自分だったら「任意の」の部分を揚げます。#1さんの(2)につながると思います。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます! すごい詳しく書いていただいて・・とても嬉しいです! ありがとうございます★

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