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”コンパクト”の定義について。集合、位相

集合論における、”コンパクト”の定義について質問です。 言い回しの違いがあるにせよ、以下の2種類があるようですが どちらが正しいのでしょうか? (その1) コンパクトであるとは、位相空間Xの任意の開被覆が、必ずXの有限被覆を部分集合として含むことである。 (その2) ある集合Aを、有限個の開集合の和で覆えるときにコンパクトという。 個人的には、(その1)の定義が正しいとおもっています。 ”位相空間”であることが、前提条件でないと 話が進まない気がしています。

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  • 回答No.3

> 結局のところ、コンパクトとは何なのでしょうか?。 このあたりをご覧になるとよいかと。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa666504.html

参考URL:
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa666504.html

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  • 回答No.2
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>言い回しの違いがあるにせよ、以下の2種類があるようですが おそらく何かを大きく間違えているようです。 位相空間Xの任意の部分集合Aは開集合であるX自身で被覆されますから。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 私自身、まだ何に疑問をもっているかまとまりきれていないところ があり、説明が不十分だったと思っています。 > おそらく何かを大きく間違えているようです。 > 位相空間Xの任意の部分集合Aは開集合であるX自身で被覆されますから。 確かにおっしゃるとおりで、X自身で被覆されます。なので 位相空間の部分集合ということを前提条件とすると、 位相空間ならばコンパクトということになってしまうので 何か変だなと感じています。 なので、私自身がまだコンパクトの定義を正しく把握していないと 思い質問に至ったわけです。 結局のところ、コンパクトとは何なのでしょうか?。 (どんな集合も適当な被覆を作ってしまえば何でも覆えてしまう 気がします。それでは意味がないので、何らかの被覆に関する ルールを定義したものであると考えられますか?……)

  • 回答No.1

(その1)が正しい。 (その2)の定義は聞いたことがありません。 有限個の開集合の和はまた、開集合になりますから、 その開集合に含まれるというだけでは、 どんな集合も(その2)の条件を満たしてしまうじゃありませんか! 全然意味がないですよ。

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質問者からのお礼

言われてみればそのとおりですね。 気づきませんでした。 どうもありがとうございます

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