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ザリスキー位相のコンパクト

ザリスキー位相のコンパクトについてどなたか教えてください。 位相空間の講義で出された問題ですが、何をどうしたら良いかわかりません。 どなたか、証明を解説して頂けると助かります。 問題 ザリスキー位相の任意の部分空間はコンパクトであることを示せ。 ザリスキー位相:O={A⊂R|A^cは有限集合}∪{Φ} よろしくお願いします。

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  • 回答No.4
  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)

「ザリスキーはコンパクト」を考えてみました。 1.ザリスキだから、1つの空でない開集合だけで、高々有限個を除く全体を覆える。 2.溢れた有限個は、それぞれを他の有限個の開集合で覆う。 3.最初のと併せて有限個の開集合で必ず全部覆える。 残りは、例えば「ザリスキの部分空間はザリスキか?」だと思います。

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  • 回答No.3
noname#199771

たびたびすみません。訂正です。 U(λ_0)≠∅なるλ_0をとります。 ↓ A(λ_0)≠∅なるλ_0をとります。

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質問者からのお礼

berokandaさん、迅速なご回答ありがとうございます。 これを参考にまた考えてみます。本当にありがとうございました。

  • 回答No.2
noname#199771

#1ですがひどい間違いがあったので差し替えお願いします。 ---------------------------------------------------- Rの任意の部分集合Xを取ります。 Xの任意の開被覆{A(λ)}をとります。 X⊂∪{A(λ)}=:Aと置きます。 U(λ_0)≠∅なるλ_0をとります。 Oの定義から、u_1,...,u_n∈Rが存在して (A(λ_0)^c)\(A^c)={u_1,...,u_n} ※「M^c」はMの補集合、「M\N」はM∩(N^c)を表すとします。 このとき、λ(1)が存在して u_1∈A(λ_1)かつ[{(A(λ_0))∪(A(λ_1))}^c]\(A^c)⊂{u_2,...,u_n} 以下同様にして u_2∈A(λ_2)かつ[{(A(λ_0))∪(A(λ_1))∪(A(λ_2))^c]}\(A^c)⊂{u_3,...,u_n} u_3∈A(λ_3)かつ{[(A(λ_0))∪(A(λ_1))∪(A(λ_2))∪(A(λ_3))}^c]\(A^c)⊂{u_4,...,u_n} ・・・ (以下省略)

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  • 回答No.1
noname#199771

定石通りです。 Rの任意の部分集合Xを取ります。 Xの任意の開被覆{U(λ)}をとります。 X⊂∪{U(λ)}=:Uと置きます。 U(λ_0)≠∅なるλ_0をとります。 Oの定義から、u_1,...,u_n∈Rが存在して (A(λ_0)^c)\(U^c)={u_1,...,u_n} ※「M^c」はMの補集合、「M\N」はM∩(N^c)を表すとします。 このとき、λ(1)が存在して u_1∈A(λ_1)かつ{(A(λ_0))∪(A(λ_1))}\(U^c)⊂{u_2,...,u_n} 以下同様にして u_2∈A(λ_2)かつ{(A(λ_0))∪(A(λ_1))∪(A(λ_2))}\(U^c)⊂{u_3,...,u_n} u_3∈A(λ_3)かつ{(A(λ_0))∪(A(λ_1))∪(A(λ_2))∪(A(λ_3))}\(U^c)⊂{u_4,...,u_n} ・・・ 以下省略しますので残りはご自分でどうぞ。

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