- ベストアンサー
開集合の定義が分かりません
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>xのε-開近傍をみたすのはｘのみなので この認識がそもそも間違っています。0<ε＝αですから、xの近傍は(x-α,x+α)です。この中に無限の実数y∈Rがあります。αをどんなに小さくしても良いけど0ではないわけです。Ｖ＝[0, 1]を考えると、x=0,x=1では、どんなに小さくαをとっても近傍内の全ての点yをVに含めることができないので、Ｖ＝[0, 1]は閉集合の定義を満たさないわけです。
その他の回答 (3)
- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
0<ε＝αとおくとxのα-開近傍＝{y∈Ｒ｜d(x, y)<α｝＝x∈Ｖ⊂Ｖ この部分で、Vの元ｘをとって、つぎに、このｘに対してαを決めます。 ここで、決めたαは失敗だと分かるまでは変更してはいけません。 たとえば、ｘ＝０、α＝0.1だとします。 このとき、ｘのα開近傍には -0.01、-0.001、-0.00001、、0.00001,0.002 などが入っています。 Vは0以上1以下の実数の集合ですから、上の数値のうちで負のものはVからはみ出します。 したがって、０の0.1開近傍はVには含まれません。 0の0.001開近傍を考えても、負の数が入ってきてしまうので、Vには入りません。 αは正の数で、決めたら変更不可ですので、決定したαによる０のα開近傍がVに入るようにはできません。 集合{y∈Ｒ｜d(x, y)<α｝のα＞０に関する全ての共通部分はxになりますが、 これは、ｘのα開近傍ではありません。 αは一度決めたら固定します。
お礼
回答ありがとうございます。 [a,b]でどんなαを定義しても(α-a)/2<αとなる（α-a)/2が存在するためaのα-開近傍はa以外にも存在しますね。[0,1]は定義を満たしませんね。
- MagicianKuma
- ベストアンサー率38% (135/348)
誤入力がありました。訂正します。 誤：Ｖ＝[0, 1]は閉集合の定義を満たさないわけです。 正：Ｖ＝[0, 1]は開集合の定義を満たさないわけです。
- MagicianKuma
- ベストアンサー率38% (135/348)
Ｖ＝[0, 1] とすると、Ｖに含まれる任意の元xに対して だから、x=0としてもよいよね。 では、x=0のα-開近傍の点は全てVに含まれるようにαを設定できますか？ y=-α/2 とおけば、d(0,y)<α ですが、Vには含まれませんよね。
お礼
回答ありがとうございます。 αを０に限りなく近いが０じゃない非負の実数とおくとεは０より大きい数ならよく 任意のx∈Ｖに対してＶがｘのε-開近傍を含むようなε>0を一つ見つければ良く、 ε＝αとおくとxのε-開近傍をみたすのはｘのみなので[0,1]内の０のα-開近傍 は０で[0,1]に含まれると思ったのですが・・・。
関連するQ&A
- 位相(開集合を示す問題です)
問 (Ｘ,ｄ)を距離空間とする。 ｒ＞０、ｘ₀∊Ｘ、Ｂr(ｘ₀)：＝{ｙ∊X｜ｄ(ｙ,ｘ₀)＜ｒ}と置く。 このとき、Ｂr(ｘ₀)は開集合であることを示せ。 開集合を示すから、Ｂr(ｘ₀)の要素aを任意に取ることをかんがえましたが、そのあとの解答の筋道、方針が分りません。ご教授願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 開集合であるかの判定
次のR ^2 の部分集合は開集合かどうかがいまいちわかりません。開集合かどうかということと、その理由を記していただけたら助かります。 A= { (x , y) ∈R ^2 | x ^2 + y ^2 ≧1 } B= { (x , y) ∈R ^2 | 0 < x ^2 + y ^2 < 1 } C= { (x , y) ∈R ^2 | x ^2 - y ^2 >1 }
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ユークリッド平面と連続開写像
「fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像としてつぎのように定める。R2∋X=<x1,x2>に対して、f(x)＝x1 このとき、fはR2からR1への連続開写像であることを証明せよ。」 以下のような流れで証明できて合っていますでしょうか？ また、もっと違う方法、簡単な方法はありますでしょうか？ 宜しくお願いします。 ------------------------------------------------------- X(x1,x2)とY(y1,y2)の距離d(ユークリッド空間R2の距離)は d(X,Y)=√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} f(X)とf(Y)の距離d(ユークリッド空間R1の距離)は d(f(X),f(Y))=√(x1-y1)^2 そうだとすると √(x1-y1)^2 <= √{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} だから ∀ε>0,∃δ>0, d(X,Y) < δ=ε ⇒ d(f(X),f(Y)) <= d(X,Y) < ε fは連続である。 fによってR2の開集合はR1の開集合に写像されることは、連続性と同じ理由で明らか。 ∵Xの任意のε(X)近傍はf(X)のε(X)近傍の上に写像されるから、R2の開集合はR1の開集合に写像されることを意味していて、fは開写像である。 ∴fはR2からR1への連続開写像である。 ----------------------------------------------------------------
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 開集合系、開集合について
Ox:={D⊂X：Dは開集合} これ(Ox)は開集合系と言うんですか？ 例えばΦ⊂Oxとは、ΦはΦ⊂Xで、かつ開集合となっているという意味ですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 開空間かどうかの判定？
難しい論理記号はよくわかりません。 座標空間R^3の標準的な距離について、 B(a,ε)、ε＞０は開集合か判定したいです。 （問題はまったく解いたことがありません） 質問１ 開集合の定義から 「x∈B(a,ε)である任意の元xに対して、B(x,ε)⊂B(a,ε)となるεが少なくとも１つ存在する」・・・・（※） ことを示せばいいんでしょうか？ 質問２ ※のεは、適当なものを具体的に当てはめてみればいいんですか？（意味不明でしたら無視してください） 結局この問題はどう解けばいいでしょうか・・・？ 質問３（できれば答えて欲しい質問です） B(x,ε)のεと、B(a,ε)のεは別物ですよね？ならどちらかのεは別の記号（βとか）で書いて、β近傍とでも呼べばいいんですか？ 長くなりましたが、緊急で非常に困ってますのでどうか教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直積位相
Ｘ、Ｙを位相空間とする。 『Ｗ⊂Ｘ×ＹがＸ×Ｙの開集合⇔任意の(ｘ，ｙ)∈Ｗに対して、ｘ∈ＸのＸにおける開近傍Ｕ⊂Ｘ、ｙ∈ＹのＹにおける開近傍Ｖ⊂ＹでＵ×Ｖ⊂Ｗとなるものが取れる』 と定義することにより、Ｘ×Ｙは位相空間になる事を示せ。 という問題です。 Ｘ、Ｙが位相空間なので、それぞれの位相をＯ(Ｘ)、Ｏ(Ｙ)としてＸ×Ｙの位相をＯ(Ｘ×Ｙ)=｛Ｕλ×Ｖλ；Ｕλ∈Ｏ（Ｘ）、Ｖλ∈Ｏ（Ｙ）｝とおいて証明しようとしたのですが、これでは上記の定義が満たされていないと注意され詰まってしましました。 どなたかアドバイス（もしくは証明）していただけませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合・位相
集合・位相初心者です。 授業で開集合と閉集合、近傍の定義を教えてもらったのですが、理解できず、困っています。 以下は、授業で使っているプリントに載っている定義です。 X:集合 T:Xの部分集合からなる集合族 (X,T):位相空間 とする。 Xの部分集合UがTの元であるとき、Uを開集合という。 また、Xの部分集合Fの補集合がTの元であるとき、Fの閉集合という。 点x∈Xに対して x∈U゜ を満たすXの部分集合Uを近傍という。また、このような近傍全体のなす集合族をxの近傍系といい、U(x)で表す。 具体的な例で教えて頂けると助かります。 例えば、集合X={1,2,3,4,5}、位相T={φ,{3},{4},{3,4},{1,3},{1,3,4},X}として、位相空間(X,T)をつくると、この(X,T)の開集合、閉集合、点3の近傍（点は適当に選びました）はどうなるのか。 集合・集合は初心者なので、詳しく教えて頂けると嬉しいです。 ご教授、よろしくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 どんな０に近い０じゃない非負の数αをもってきてもαに1/2倍すると０とαの間 にα/2が存在しα-α/2>0よりαのα-α/2開近傍は（0,1）に含まれるのですね。でも[0,1]だとその方法は確かにできませんね。恥ずかしながらやっと分かりました。