開集合と閉集合。

質問

次の集合はR^2で開集合か閉集合であるか理由を述べて答えよ。

(1){(x,y)∈R^2:x^2-y^2=1}
(2){(x,y)∈R^2:|x|+|y|<1}
(3){(x,y)∈R^2:1<4x^2+2y^2≦2}

(1)は閉集合(2)は開集合だと思うのですがどう証明すれば良いか分かりません。
(3)はグラフがどうなるのかも分かりません汗

連投すいませんが分かる方お願いします！

回答No.3

koko_u_ · ベストアンサー

>(1)x^2-y^2=1より集合Aは内点、境界点ともに含むので、Aの補集合は開集合であり、B＝￣B
>これも理由になってないでしょうか。。

なっていません。
x^2 - y^2 = 1 だと「なぜ」内点を含むのですか？「なぜ」境界点を含むのですか？

>>これは「定義」を記載したのですか？それとも何かの「命題」ですか？
>授業で習った定義です。

通常「定義」というのは『Ａが○○を満たす場合、これを開集合と言う」という風に一つの言明によって記述されます。
授業では定義をした後に、それと同値な命題として別の言明を与えていると想像されます。

A = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 - y^2 = 1 } が閉集合であることを示すには何を「証明」する必要があるかを再度整理しましょう。

お礼

お礼が遅れてしまい申し訳ありません。

理由になってないですよね…等号だと内点、境界点を含み不等号だと内点のみ含むと思うのですが…

＞通常「定義」というのは『Ａが○○を満たす場合、これを開集合と言う」という風に一つの言明によって記述されます。
授業では定義をした後に、それと同値な命題として別の言明を与えていると想像されます。

そうなのですか…定義と命題の違いが分かっていませんでした。ご指摘有り難うございます。

＞A = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 - y^2 = 1 } が閉集合であることを示すには何を「証明」する必要があるかを再度整理しましょう。
理解力が乏しい私に丁寧に有り難うございます。調子が悪いので月曜考えてみます。。

回答No.4

kabaokaba

証明はともかく「直観」で
それぞれが閉なのか開なのか分かりますか？
そして，その直観の根拠が，証明レベルでなくて構わないから
表現できませんか？
(1)(2)(3)ともに，図示できませんか？
絵が書ければ，答えそのものは
ひとまず証明抜きではありますが，容易に分かります

あと初学者に多い思い込みとしては
「閉でも開でもない集合」「閉でも開でもある集合」
という集合が「存在しない」というものがあります．
両方とも「任意の位相空間で」きっちり存在します．

証明そのものは，すでにご指摘があるとおり．
「何が定義」「何が定理」なのかを明確にして
それに当てはめるだけです．
このあたりの超初歩のところは色々流儀があって
同じことでも何通りもの表現があります．
ひとまずは習った流儀に従いましょう．

お礼

回答有り難うございます。お礼が遅れてしまい申し訳ないです(-_-)
(1)(2)は図示できるので開か閉かは予想出来ます…(3)はちょっとグラフが書けないのですが…

証明は…習ったやり方がよく分からなくて…理解力が乏しいですが、明日出来る所までやってみます。。有り難うございます。

回答No.2

koko_u_

>何か説得力に欠ける気がするのですが…
その通りです。

>(1)A((1)の集合)の補集合は開集合である。
>集合Aは内点、境界点を含むのでB＝￣B
お気付きのように、結論に至る理由が一切述べられていません。

>集合Aが開集合である⇔∀a∈AがAの内点である⇔A=A゜(内点の集合)
>集合Bが閉集合である⇔B(上にcをつける)が開集合である⇔B＝￣B(触点の集合=閉包)
>なのは分かるのですが
これは「定義」を記載したのですか？それとも何かの「命題」ですか？

お礼

＞結論に至る理由が一切述べられていません。
仰る通りです。。

(1)x^2-y^2=1より集合Aは内点、境界点ともに含むので、Aの補集合は開集合であり、B＝￣B

これも理由になってないでしょうか。。

＞これは「定義」を記載したのですか？それとも何かの「命題」ですか？
授業で習った定義です。

回答No.1

koko_u_

>どう証明すれば良いか分かりません。
開集合、閉集合の定義に従いましょう。

お礼

連続回答有り難うございます。

＞開集合、閉集合の定義に従いましょう。

集合Aが開集合である⇔∀a∈AがAの内点である
　　　　　⇔A=A゜(内点の集合)
集合Bが閉集合である⇔B(上にcをつける)が開集合である
　⇔B＝￣B(触点の集合=閉包)

なのは分かるのですが

(1)A((1)の集合)の補集合は開集合である。
集合Aは内点、境界点を含むのでB＝￣B

よって閉集合である。

(2)∀a∈A((2)の集合)がAの内点であるとする。
集合Ａは内点のみからなるのでA=A゜

よって開集合である。

これで合ってるでしょうか。何か説得力に欠ける気がするのですが…