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集合の問題です。

直積集合の問題です。 次の命題を証明したいのですが…教えてください!! 命題:AをXの部分集合、BをYの部分集合とすれば、等式 (X×Y)-(A×B)=((X-A)×Y)∪(X×(Y-B)) が成り立つ。 この証明をしてください。お願いします!!

noname#5900
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  • nakaizu
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#1,#2の方は勘違いされているようです。おそらく、×と∩を混同しているのでしょう。 X×Y=(A×B)∪((X-A)×B)∪(A×(Y-B))∪((X-A)×(Y-B)) としたとき右辺がディスジョイントつまり共通部分がないような和集合になっていることに気をつけてください。 一方 X×(Y-B)=(A×(Y-B))∪((X-A)×(Y-B)) (X-A)×Y=((X-A)×B)∪((X-A)×(Y-B)) なので両辺をよく見てみるとわかるかと思います。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2

#1の者です。 次のように訂正させて下さい。 [ 解答例 ] Aの補集合をC、Bの補集合をD、(AxB)の補集合をEとする。 ド・モルガンの法則より、 E=C U Dである。 X-A=XxC,Y-B=YxDと表すことができるので、 同様にして、左辺は次のように変形できる。 左辺=(XxY)-(AxB) =(XxY)x E =(XxY)x(C U D) =(XxYxC)U(XxYxD) =((XxC)xY)U(Xx(YxD)) =((X-A)xY)U(Xx(Y-B)) =右辺

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  • 回答No.1

酔い覚ましに、トライさせて頂きます。 AがXの部分集合、BがYの部分集合なので、 A = (A x X), B = (B x Y) というのがポイントです。 [ 回答例 ] ((X - A) x Y) = (X x Y) - (A x Y) (X x (Y - B)) = (X x Y) - (X x B) 上記の2式より、 ((X - A) x Y) と (X x (Y - B)) の和集合は、 (X x Y) - ((A x Y) x (X x B)) と表すことができる。 右辺 = ((X - A) x Y) U (X x (Y - B)) = (X x Y) - ((A x Y) x (X x B)) = (X x Y) - ((A x X) x (Y x B)) = (X x Y) - (A x B) = 左辺

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