凸集合

質問

次の問題を教えて下さい。基本的ですいません。
よろしくお願いします。

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以下の集合が凸集合であることを示せ
A={ x^2+y^2≦r^2 }∈R^2　(rは定数)
B={ x^2+y^2≦z } ∈R^3
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回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(1)
0≦r∈R
A={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦r^2}
{(a,b),(c,d)}⊂A
0≦t≦1
(x,y)=(1-t)(a,b)+t(c,d)
とすると
a^2+b^2≦r^2
c^2+d^2≦r^2
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2≧0
↓
x^2+y^2
={(1-t)a+tc}^2+{(1-t)b+td}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ac+bd)+t^2(c^2+d^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+t^2(c^2+d^2)
={(1-t)√(a^2+b^2)+t√(c^2+d^2)}^2
≦r^2

(2)
B={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≦z}
(a,b,c)∈R^3
(d,e,f)∈R^3
0≦t≦1
(x,y,z)=(1-t)(a,b,c)+t(d,e,f)
とすると
a^2+b^2≦c
d^2+e^2≦f
(a^2+b^2)(d^2+e^2)-(ad+be)^2=(ae-bd)^2≧0
↓
x^2+y^2
={(1-t)a+td}^2+{(1-t)b+te}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ad+be)+t^2(d^2+e^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(d^2+e^2)}+t^2(d^2+e^2)
≦c(1-t)^2+2(1-t)t√(cf)+ft^2
=(1-t)c+tf-t(1-t)(√c-√f)^2
≦(1-t)c+tf
=z

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません。
丁寧な回答をありがとうございました。
お陰様で理解することができました。

回答No.3

stomachman

凸集合の定義通り、集合Aの任意の2点(a,b), (c,d)について、両者を結ぶ線分上の点(a+ct, b+dt)(0≦t≦1) が全てAの要素であること
　　∀a∀b∀c∀d∀t((a,b)∈A ∧ (d,c)∈A ∧ 0≦t≦1 ⇒ (a+ct, b+dt)∈A)
を証明すれば良いのです。それをキッチリやって下さってるのがANo.2。

お礼

お礼が遅れてしまって申し訳ありません。
解決しました。

回答No.1

Tacosan

何が分からないのかが分かりません.

補足

凸集合の定義は知っていますが、問の集合について
どのように示せばいいかわからないのです。
証明を実際にして頂けると幸いです。