- ベストアンサー
Xi(i∈I)が凸集合⇒∩[i∈I]Xiも凸集合
Rを実数体とする。 R^n⊃Xi(i∈I)が凸集合⇒∩[i∈I]Xiも凸集合 を示したいのですが ∀λ∈[0,1], x,y∈∩[i∈I]Xi, λx+(1-λ)y=… からどのようにして ∈∩[i∈I]Xiに辿り着けますでしょうか?
- RumikoOgaw
- お礼率83% (40/48)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
集合Xが凸集合であるとは、X内の任意の2点A,Bに対して、線分ABがXに 含まれていることである。もう少し式を使えば、任意のλ(0≦λ≦1) に対して、λA+(1-λ)B∈Xとなることである。 ∩[i∈I]Xiから任意の2点A,Bをとる。 AもBもすべてのXiに含まれており、Xiは凸集合だから線分ABはXiに含ま れている。 つまり、線分ABはすべてのXiに含まれており、線分ABはXiの共通集合 ∩[i∈I]Xiに含まれている。 よって、∩[i∈I]Xiは凸集合である。 一般に、共通集合は、それぞれの集合の共通の性質を引き継いでいると いうことか。 式より以前に、意味を考えるようにすると良いと思います。
その他の回答 (1)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>... からどのようにして まずは日本語で何を示したくて、何が前提なのかを書きましょう。 そうすれば普通の日本語能力を持っている人なら自ずと明らかになります。
お礼
ごコメントありがとうございました。
関連するQ&A
- 凸集合での命題を証明したいのですが…
実数体Rに於いて,A,B⊂R^n を凸集合とする時、 (1) もし、AとBが閉集合ならA+B:={x+y;x∈A,y∈B}は閉集合とは限らない。 (2) もし、AがコンパクトでBが閉集合ならA+Bは閉集合。 という命題を証明したいのですが滞ってます。 凸集合の定義は 「集合Ｓについて任意の２つのベクトル x,y∈Ｓ と正の実数ｓ (0≦s≦1) について， sx＋(1-s)y∈Ｓ が成立するとき，Ｓは凸集合であるという」 閉集合の定義は 「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」 コンパクトの定義は 「集合YをX(⊂R^n)の開被覆とする時、Yの有限個の開集合でXを覆える。」 (1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか? そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 凸関数の問題
凸集合と凸関数に関する問題です。 問題 x,y∈Ｒ＾ｎの内積を<x,y>=x´yで定義する。R^n上の凸集合Ｃに関して 関数ｆを （ただし、x´はxの転置行列） f(x)=sup{<x,y>|y∈Ｃ} とおく。 （１）fが凸関数であることを示せ ｆのエピグラフepi fがR^(n+1)上の凸集合であるとき、ｆが凸関数 であることから考えようとしたのですが解けません。 ちなみに、fのエピグラフepi fの定義は epi f={(x,μ)|x∈S,μ∈Ｒ，μ≧f(x)} fは、その領域がS∈Ｒ＾ｎであり、値は実数か±∞をとるような関数 （２）n=1としたとき、Ｃ＝[0,1]の場合fはどうなるか？ （１）をどう生かしていけばいいのかわからない。 （３）n=2として、C={(y[1],y[2]|y[1]+y[2]≦１、y[1],y[2]≧０｝ のとき、ｆの等高線をR^2上ではどうなるか？ Ｃの領域の図示はしましたが、これをどうするのか扱いが理解できない。 以上なのですが、何とか理解したいのでよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 凸関数についての問題。
１. hi: R^n→R(i=1,2,・・・・・m)が凸関数ならば、 集合S=｛x|hi(x)≦0｝は凸集合になることを示せ。 ２. D(R＾n上)を空でない凸集合とし、f:D→Rとする。 このとき、fがD上で準凸関数になるための必要十分条件は、 任意の実数αに対して、準位集合Lα＝｛ｘ（Ｄ上）｜f(x)≦α｝ が凸集合であることを示しなさい。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の、凸集合の問題を教えて下さい。
次の6つの集合を、凸かどうか調べよという問題です。 図書館で本を調べたりしたのですが、定義とかだけで具体的な問題が載っておらずよく分かりません。 分かるやつだけでも全然構いません。お願いいたします。 (1)集合S={(x,y,z)∈R^3：x^2+y^2≦z} (2)集合S={(x,y)∈R^2：1≦x≦2,y=3} (3)集合S={(x,y,z)∈R^3：x+y≦3,x+y+z≦5,0≦x,y,z} (4)集合S={(x,y,z)∈R^3：x+y=3,x+y+z≦6} (5)集合S={(x,y,z)∈R^3：x^2+y^2+z^2≦4,x+y=1} (6)集合S={(x,y)∈R^2：x^3≦y,0≦x} お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- ∀B⊂R^nに対し,Bを含む最小の凸集合Aが存在の証明
[問]Rは実数体で∀B⊂R^nに対し,Bを含む最小の凸集合Aが存在する事を示せ。 [証] Bを含む凸集合の共通部分A:=∩[C∈{C;B⊂C:凸集合}]C を考えたのですが ∀x,y∈A,∃C∈{C;B⊂C:凸集合} such that x,y∈C. 所が∀λ∈[0,1],λx+(1-λ)y∈Cは言えるが λx+(1-λ)y∈Aとは必ずしも言えないと思います。 どうすればλx+(1-λ)y∈Aが言えますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 凸包と凸錐の命題証明が出来ません
こんにちは。宜しくお願い致します。 次の二つの命題が証明できません。 [定義1]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸集合Cを凸包といい,このCをco(B)と表す。 [定義2]R^nの部分集合Bが次の2条件を満たす時,Bを凸錐という。 (i) x∈B,λ≧0⇒λx∈B (ii) x,y∈B⇒x+y∈B [命題1](R^n⊃)Bを有限集合B={b_1,b_2,…,b_n}とする時,co(B)={Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1} [証] co(B)=∩[C∈{C;B⊂C,Cは凸集合}]Cであり,これを使って証明するとかとも思いましたが co(B)⊂{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事と co(B)⊃{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事にどうやって持っていけばいいのかわかりません。夫々どのようにして示せるのでしょうか? [命題2]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸錐B~が存在する。 [証] これはどのような集合をB~を採ればいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 凸集合の問題の解き方
xy平面で以下の表す図形は凸集合かどうか。ただし、cをある定数とする。 ｛(x,y)|x^2+y^2≦6} という問題です。例題が答えなくて困ってます… 初心者でもわかるように教えてもらえれば幸いです。 知りたいこと：この問題の答えというより、やり方、アプローチそのもの
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
∀x,y∈∩[i∈I]Xiを採ると, x,y∈X1,x,y∈X2, x,y∈X3,…(Iは可算集合とは限りませんが,,,)と含まれていて ∀λ∈[0,1]に対し、λx+(1-λ)y∈X1,λx+(1-λ)y∈X2,λx+(1-λ)y∈X2,… (∵凸集合の定義) 従って,λx+(1-λ)y∈∩[i∈I]Xi(∵共通部分の定義) ですね。 お陰様で上手くいきました。どうも有り難うございました。