Xi(i∈I)が凸集合⇒∩[i∈I]Xiも凸集合

質問

Rを実数体とする。
R^n⊃Xi(i∈I)が凸集合⇒∩[i∈I]Xiも凸集合
を示したいのですが
∀λ∈[0,1], x,y∈∩[i∈I]Xi,
λx+(1-λ)y=…

からどのようにして

∈∩[i∈I]Xiに辿り着けますでしょうか?

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

集合Xが凸集合であるとは、X内の任意の2点A,Bに対して、線分ABがXに
含まれていることである。もう少し式を使えば、任意のλ(0≦λ≦1)
に対して、λA+(1-λ)B∈Xとなることである。

∩[i∈I]Xiから任意の2点A,Bをとる。
AもBもすべてのXiに含まれており、Xiは凸集合だから線分ABはXiに含ま
れている。
つまり、線分ABはすべてのXiに含まれており、線分ABはXiの共通集合
∩[i∈I]Xiに含まれている。
よって、∩[i∈I]Xiは凸集合である。

一般に、共通集合は、それぞれの集合の共通の性質を引き継いでいると
いうことか。

式より以前に、意味を考えるようにすると良いと思います。

お礼

∀x,y∈∩[i∈I]Xiを採ると, x,y∈X1,x,y∈X2, x,y∈X3,…(Iは可算集合とは限りませんが,,,)と含まれていて
∀λ∈[0,1]に対し、λx+(1-λ)y∈X1,λx+(1-λ)y∈X2,λx+(1-λ)y∈X2,…
(∵凸集合の定義)
従って,λx+(1-λ)y∈∩[i∈I]Xi(∵共通部分の定義)
ですね。

お陰様で上手くいきました。どうも有り難うございました。

回答No.1

koko_u_

>... からどのようにして

まずは日本語で何を示したくて、何が前提なのかを書きましょう。
そうすれば普通の日本語能力を持っている人なら自ずと明らかになります。

お礼

ごコメントありがとうございました。