凸包と凸錐の命題証明が出来ません

質問

こんにちは。宜しくお願い致します。
次の二つの命題が証明できません。

[定義1]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸集合Cを凸包といい,このCをco(B)と表す。
[定義2]R^nの部分集合Bが次の2条件を満たす時,Bを凸錐という。
(i) x∈B,λ≧0⇒λx∈B
(ii) x,y∈B⇒x+y∈B

[命題1](R^n⊃)Bを有限集合B={b_1,b_2,…,b_n}とする時,co(B)={Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}
[証]
co(B)=∩[C∈{C;B⊂C,Cは凸集合}]Cであり,これを使って証明するとかとも思いましたが
co(B)⊂{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事と
co(B)⊃{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事にどうやって持っていけばいいのかわかりません。夫々どのようにして示せるのでしょうか?

[命題2]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸錐B~が存在する。
[証]
これはどのような集合をB~を採ればいいのでしょうか?

回答No.1

tinantum · ベストアンサー

[命題1] co(B)={Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}であることを示すには，

『(1) {Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}がBを含む凸集合である』
ことと，
『(2) Cを，Bを含む任意の凸集合とするとき，C ⊃ {Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}』
ことを示せばよいですが，この2点はすぐ確認できるでしょう．

[命題2] Bを含むような凸錐の集合を考え，それらの共通部分が答えになります．これを確認するためには，まず，
（１）Bを含む凸錐の集合が少なくとも一つはあることを示す（← R^nでよいでしょう）．
（２）共通部分はBを含む凸錐であることを示す．

お礼

落ち着いて考えてましたらお陰様で上手くいきました。
どうも有り難うございました。