cone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})がなかなか言えません

質問

[定理]B:={b_1,b_2,…,b_r}⊂R^nとする時,
cone(B) (Bの最小の凸錐)
co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}) (∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}の凸包)
{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}
の三集合は一致する。

の証明が出来ません。

凸錐の定義は
「X(⊂R^n)が次を満たす時,Xを凸錐という。
(i) x∈X,λ≧0⇒λx∈X
(ii) x,y∈X⇒x+y∈X」です。

cone(X)の定義はX(⊂R^n)を含む最小の凸錐です。そのようなものとして∩[A∈{A;X⊂A,Aは凸錐}]Aがとれると思います。

co(X)の定義はX(⊂R^n)を含む最小の凸集合です。そのようなものとして∩[A∈{A;X⊂A,Aは凸集合}]Aがとれると思います。

とりあえずcone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})を示そうと試みましたがなかなかできません。
∀x∈cone(B)(∩[A∈D]A (D:={A;{b_1,b_2,…,b_r}⊂A,Aは凸錐}))をとると
∀A∈D,x∈A∧{b_1,b_2,…,b_r}⊂A で∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}⊂Aも言える。
後は,∀C∈{C;∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0},Cは凸集合}:=Eを採るとC∈Dである事(つまりE⊂D)が言えれば
x∈co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})でおしまい。
となるのですが
∀x∈C,∀λ≧0に対してλx∈C
や
∀x,y∈Cに対してx+y∈C
が言えません。

どうすればcone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})が言えますでしょうか?

回答No.2

PRFRD · ベストアンサー

ANo 1 への返信に対して

> すいません。どうしてもΣ(λ λ_i) b_i∈co(C)となるなる事がわかりません。
> どのように変形すればいいのでしょうか?

方針のみ．α = Σλ λ_i とおきます．α = 0 のときは別途証明するとして
α > 0 とします．β_i = λλ_i / α とおけば，以下の順で証明が行えます．
　1. β_i ≧ 0, Σβ_i = 1
　2. Σ(λ λ_i) b_i = Σβ_i (α b_i)
　3. (上式の右辺) ∈ co(α b_1, ..., α b_r)
　4. {α b_1, ..., α b_r} ⊂ C
　5. co({α b_1, ..., α b_r}) ⊂ co(C)

α = 0 のときは，λx = 0 なので 0 ∈ C ⊂ co(C) でおしまいです．

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> 　4. {α b_1, ..., α b_r} ⊂ C

すいません。ここがどうしても示せません。ここはどうして言えるのでしょうか?

回答No.4

PRFRD

ANo.3 への返信に対して

Dominika さんは，何を示そうとしていて，
どのような方針を立てているのでしょう？

質問内容を見るに，はじめの質問とは違う何かを
証明しているように見えます．
（少なくとも，ANo.1 に書いた方針では，
　返信にある二つの主張は，どちらも使いません．
　これは，使わないほうが簡単に示せるからです．）

とりあえず，示したいことと，そのための方針を
再確認したいので，それを書いてください．

それと一点

> それにはco(C)=Cが言えると思います。

もし C が ANo.1 で定義したものであれば，
co(C) = C は成り立ちません．この C は凸ではありません．

お礼

遅くなりましてすいません。

> Dominika さんは，何を示そうとしていて，

示そうとしている事は
cone(B)=co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})={Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}です。

> どのような方針を立てているのでしょう？

cone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})⊂{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}⊂cone(B)
という方針でした。

漸く下記のように示せました。

(1) A:={Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}⊂cone(B) である事は
C(m)=
{0} (m=0の時)
{Σ[i=1..r]λ_ib_i;Π[j=1..m]λ_ij≠0,(i1,i2,…,im=1,2,…r (m≦r))}(1≦m≦rの時)
とすると
(つまり,下段は係数が0でない一次結合の集合)
A=∪[m=0..r]C(m)である。
m=1の時はC(1)の元はλ_i1b_i1でこれは明らかにcone(B)と分かり(∵凸錐の定義)、C(1)⊂cone(B).
m=r-1(2≦r)の時,C(r-1)⊂cone(B)と仮定すると凸錐の定義から
C(r)⊂cone(B)も言える。
よって∪[m=0..r]C(m)⊂cone(B)即ち,A⊂cone(B).

(2) cone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})である事は
cone(B)=min{C;B⊂C,Cは凸錐}(∵cone(B)の定義)
=min{C;∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}⊂C,Cは凸錐}
⊂min{C;∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}⊂C,Cは凸集合}
=co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})

(3) co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})⊂{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}である事は
∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})⊂{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}でしかも
{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}は凸集合なので凸包の最小性から
co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})⊂{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}が言える。

と漸く示せました。
どうもお力添え誠に有難うございました。

回答No.3

PRFRD

ANo.2 への返信に対して

> 　4. {α b_1, ..., α b_r} ⊂ C

これは C の定義を見れば，ほとんど自明です．

C の定義は
　C = ∪{i=1..r] {λ b_i | λ ≧ 0}
でした．よって α b_1, ..., α b_i ∈ C です (*)．
これを集合で書いたものが 4 の式です．

(*) の部分を形式的に証明するなら
　α b_i ∈ { λ b_i | λ ≧ 0 } ⊂ ∪{i=1..r] {λ b_i | λ ≧ 0} = C
ですが，流石に「式の形から明らか」と言いたいところです．

お礼

>> 　4. {α b_1, ..., α b_r} ⊂ C
> これは C の定義を見れば，ほとんど自明です．

そうでした。スイマセン。質問の箇所を間違ってしまいました。ボケておりました。
重ねてお詫び申し上げます。m(＿ ＿)m

実の質問ですが
下記の"∈"が言えれば嬉しいのですがどうしても言えません。
どうすれば言えますでしょうか?

co(C)⊂{Σ[i=1..n]λ_ib_i;0≦λ_i (i=1,2,…,r)}
を示したく思っています。
それにはco(C)=Cが言えると思います。
(∵co(C)⊃Cは凸包の定義から明らか。
そしてC∈{C;∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}⊂C,Cは凸集合}=:E
(∵∀λ'b_i,λ"b_j∈C (λ',λ"∈R,i,j∈{1,2,…,r}),∀λ∈[0,1],
λ(λ'b_i)+(1-λ)(λ"b_j)∈C ←ここの"∈"
∴Cは凸集合)
∴co(C)⊂C(∵co(C)の最小性))

それと最後の
{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}⊂cone(B)
の部分もどうしても言えません。
これはどうすれば言えますでしょうか?

お手数お掛けしまして誠に申し訳有りません。

回答No.1

PRFRD

記号の簡単のため C = ∪{i=1..r] {λ b_i | λ ≧ 0} とおきます．
co(C) が B を含む凸錐であることを証明すれば，cone(B) が
B を含む最小の凸錐であることから，cone(B) ⊂ co(C) が証明されます．

まず co(C) が B を含むことですが，これは C の定義から
B ⊂ C であり，co の定義から C ⊂ co(C) なので従います．

次に co(C) が凸錐であることを証明します．
まず x ∈ co(C) と λ ≧ 0 に対して λx ∈ co(C) を示します．
　co(C) = ∩[A:Cを含む凸集合] A
と書けることから，x ∈ co(C) は任意の C を含む凸集合に含まれます．特に
　A = {Σλ_i b_i | λ_i ≧ 0}
を考えると，A は明らかに C を含み，凸なので x を含みます．そのため
　x = Σλ_i b_i　(λ_i ≧ 0)
と書けます．したがって任意の λ ≧ 0 に対して
　λ x = Σ(λ λ_i) b_i
と書け，この右辺は若干変形すると co(C) に入ることがわかるので，
結局 λx ∈ co(C) が証明されます．
次に x, y ∈ co(C) のとき x + y ∈ co(C) を示します．
これは簡単で，co(C) が凸集合なので x/2 + y/2 ∈ co(C)，
よって上で示したことから x + y = 2 (x/2 + y/2) ∈ co(C) です．

以上で co(C) が B を含む凸錐であることが示せたので，cone(B) ⊂ co(C) となります．

ちなみに，定理の証明を行うだけであれば
　co(C) ⊂ cone(B)
　cone(B) ⊂ {Σλ_ib_i|λ_i≧0}
　{Σλ_ib_i|λ_i≧0} ⊂ co(C)
の順番に証明するのが簡単です．この順番ならば，
上の二つは co と cone の定義くらいから簡単に証明でき，
一番最後は左辺の元が右辺に入ることを，やはり簡単に証明できます．
（この部分は，上の証明の「若干変形すると」の部分で，実質的にやることになります）

お礼

ご説明大変参考になっております。どうも有り難うございます。

> 　A = {Σλ_i b_i | λ_i ≧ 0}
> を考えると，A は明らかに C を含み，凸なので x を含みます．そのため
> 　x = Σλ_i b_i　(λ_i ≧ 0)
> と書けます．したがって任意の λ ≧ 0 に対して
> 　λ x = Σ(λ λ_i) b_i
> と書け，この右辺は若干変形すると co(C) に入ることがわかるので，

すいません。どうしてもΣ(λ λ_i) b_i∈co(C)となるなる事がわかりません。
どのように変形すればいいのでしょうか?