凸関数の問題

質問

凸集合と凸関数に関する問題です。

問題
x,y∈Ｒ＾ｎの内積を<x,y>=x´yで定義する。R^n上の凸集合Ｃに関して
関数ｆを
　　　　　　　　　　　　　　　　（ただし、x´はxの転置行列）

　　f(x)=sup{<x,y>|y∈Ｃ}

とおく。

（１）fが凸関数であることを示せ

　ｆのエピグラフepi fがR^(n+1)上の凸集合であるとき、ｆが凸関数
　であることから考えようとしたのですが解けません。
　ちなみに、fのエピグラフepi fの定義は
　　　epi f={(x,μ)|x∈S,μ∈Ｒ，μ≧f(x)}
fは、その領域がS∈Ｒ＾ｎであり、値は実数か±∞をとるような関数

（２）n=1としたとき、Ｃ＝[0,1]の場合fはどうなるか？

　（１）をどう生かしていけばいいのかわからない。

（３）n=2として、C={(y[1],y[2]|y[1]+y[2]≦１、y[1],y[2]≧０｝
　　　のとき、ｆの等高線をR^2上ではどうなるか？

　Ｃの領域の図示はしましたが、これをどうするのか扱いが理解できない。

以上なのですが、何とか理解したいのでよろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_

>（１）fが凸関数であることを示せ
>
>ｆのエピグラフepi fがR^(n+1)上の凸集合であるとき、ｆが凸関数
>　あることから考えようとしたのですが解けません。
f(x) が凸関数とは

f(tx + (1-t)y) ≧ tf(x) + (1-t)f(y) 0 ≦ t ≦ 1

ということですよね？定義に従えば証明できると思いますが。

>（２）n=1としたとき、Ｃ＝[0,1]の場合fはどうなるか？
>
>　（１）をどう生かしていけばいいのかわからない。
(1)関係なく、具体的な形を求めるだけだと思います。