凸とstarlikeの違い

質問

R^nの部分集合Aを考えます。
Aがstarlikeであることと凸集合であることはどのように違うのでしょうか？
例えばstarlikeだが凸ではない。あるいはその逆を満たすAを作ることは出来るのでしょうか？

AがstarlikeであるとはAの点xが存在して、Aの任意の点とxを結ぶ線分がAに含まれることです。

回答No.3

rinkun · ベストアンサー

ANo.2さんの回答がまったく理解できない。何か重大な勘違いをしているのでは?

starlikeは、Aの中のある一点xについてA内の任意の点yとxを結ぶ線分がすべてAに含まれること。
凸は、Aの中の任意の2点x,yについてxとyを結ぶ線分がすべてAに含まれること。
明らかに凸ならstarlikeだが、starlikeで凸でないものはいわゆる星型などいくらでも作れる。

回答No.4

12125j

No.2の回答者です。
申し訳ありません、「ある」と「任意」を取り違えました。
No.3の回答が正と思います。

お礼

なるほど。定義の違いがわかりました。
ですが部分集合Aはどのように書けばいいのでしょう？

R^nでなくてR^2であれば
例えばアステロイドなどはstarlikeだけど凸ではないですよね。
R^nの場合にAをどう記述すればいいのか…

回答No.2

12125j

>>AがstarlikeであるとはAの点xが存在して、
Aの任意の点とxを結ぶ線分がAに含まれることです。

上記は凸集合の定義そのものであり、
凸集合の英語訳はConvex Setです。

Starlikeの日本語訳は星型ですが、
>>AがstarlikeであるとはAの点xが存在して、
Aの任意の点とxを結ぶ線分がAに含まれることです。
は成立しません。

お礼

お返事ありがとうございます。

配布されたプリントには確かに上のように書いてあったので、
これはきっと凸とstarlikeを書き間違えたということですね。
starlikeの定義は教科書には載っていませんでしたが、
星型の形をしているということだけでいいのでしょうか？

確かに星型は凸にはなりませんが…

回答No.1

qqqqqhf

文字通りstarlikeは星のような図形なんでは。

なので、凸であればstarlike。

starlikeであっても凸とは限らない。