命題の否定

質問

「集合と論理」についていまいち理解できないことがあるのでどなたかお願いします。
問題：M,Nを空でない実数の部分集合とする。命題「Mに属すどんな数xをとってもｘ＞ｙまたはｘ＝ｙとなるｙがNに存在する」の否定命題を答えよ
とりあえず初めに考えるべき（と書かれている）解答：Mに属すあるxに対しｘ＞ｙまたはｘ＝ｙとなるｙがNに存在しない
となっているのですが
自分の解答：Mに属さないあるｘに対しｘ＞ｙまたはｘ＝ｙとなるｙがNに存在しない
としてしまいました。
なぜ「Mに属す」なのでしょうか？お願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

命題「Mに属すどんな数xをとってもｘ＞ｙまたはｘ＝ｙとなるｙがNに存在する」

この文章，
日本語的にはすっきりしてるのですが
日本語的にはちょっとおかしくはなりますが
英語的な順序で考えると
考えやすいことが多いです

集合M，Nを考え，x，yはそれぞれM，Nの元とする
その前提において，

任意のxに対して，
あるyが存在し，
x≧yとできる

これの否定です．No.2さんが
おっしゃるように前提は変わりません．
その前提内での否定です．

となると

集合M，Nを考え，x，yはそれぞれM，Nの元とする
あるxが存在して，
任意のyに対して
x<yである

となります．
「解答」と表現が異なりますが，
普通はこういう風に書くことのほうが
多いはずです

というか，「解答」が正しいのか
ちょっと悩みましたよ，正直。。。
「x≧yとなるyが存在しない」
ってのは
「任意のyに対して，「x≧yとはならない」」
という意味なので
結局
「任意のyに対してx<yである」
ということです

記号的に書けば
∀x∃y P(x,y)
という形の命題を否定するので
∃x∀y ￢P(x,y)
ですし，P(x,y)は「x≧y」なので
￢P(x,y)は「x<y」です

>「ある実数xについてax2乗＜０が成り立つならばa<0である」

これも，

「aは実数である」という前提のもと
「ある実数xに対してax^2<0」ならば「a<0」

ということの対偶なので

「aは実数である」という前提のもと
「「a<0」でない」ならば
「「ある実数xに対してax^2<0」でない」

というのが対偶となり

「aは実数である」という前提のもと
「a≧0」ならば「任意の実数xに対してax^2≧0」

となります

この手の問題は

・何が大きな前提条件なのか
（集合の言葉で言えば「全体集合」が何か）
・命題の中での仮定と結論は何か

を文脈から読みとらないといけないことです．
したがって，
複雑な命題の場合は
どこが前提か，仮定はどこか，結論はどこか
というのが，
分かるように表記することがあります
今回の質問のような問題は
そーいう文脈を読み取る練習問題の意味合いもあります

お礼

とにかく論理の問題はわかりやすく自分で噛み砕いていく必要があるのですね。これからはそういう癖をつけていきたいと思います。また確かに「aが実数」ということが前提になっていたことを考えますと文脈などもよく考える必要があることがよくわかりました！今まで論理を軽んじてきましたがやっぱりまだまだ自分には論理力が足らないこともわかりましたので、これからがんばっていきたいと思います！ありがとうございました。

回答No.4

take008

「Mに属すどんな数xをとってもｘ＞ｙまたはｘ＝ｙとなるｙがNに存在する」
を記号化して書くと
全ｘ∈Ｍ 在ｙ∈Ｎ(ｘ≧ｙ)
または
全ｘ(ｘ∈Ｍ ならば 在ｙ(ｙ∈Ｎ かつ ｘ≧ｙ))
となります。
否定は，それぞれ
在ｘ∈Ｍ 全ｙ∈Ｎ(ｘ＜ｙ)
在ｘ(ｘ∈Ｍ かつ 全ｙ(ｙ∈Ｎ ならば ｘ＜ｙ))
となります。
「Ｐ ならば Ｑ」の否定は「Ｐ なのに Ｑでない」すなわち「Ｐ かつ Ｑでない」です。
「Ｐでない かつ Ｑでない」は「Ｐ または Ｑ」の否定です。

「ある実数xについてax2乗＜０が成り立つならばa<0である」
は
在ｘ:実数(ａｘ^2＜０ ならば ａ＜０)
ではなくて
(在ｘ:実数(ａｘ^2＜０)) ならば ａ＜０
です。
その対偶は
ａ≧０ ならば (全ｘ:実数(ａｘ^2≧０))
です。

お礼

（）でくくるとわかりやすいですね！ありがとうございました。

回答No.2

pyon1956

命題は大体ある集合の中で考えるのが一般的です。
たとえば、「この部屋の中に今いる人で、～の人」というようにこの部屋の中の人が対象だといっているわけです。
否定というのは集合で考えると補集合ですが、Aの補集合というのはもともと全体集合の中でAに属さないもの全体の集合のことですから、全体集合が定まっていなければ定義の使用がありません。（先ほどの例だと、この部屋で～でない人はいないかもしれないけど、世界中だったらきっといる、ってな場合とかね）
つまりあなたの仰る「Mに属する」というのは命題の中身ではなく、その命題がどういう集合を対象にしているか、というものですから、それを変化させたのでは意味がありません。
Mの中で～のもの、に対してそうでないものを考えるわけです。これ、形式的にはあなたの答えも正しそうに感じる人もいると思うのですが、現実の世界でそれをやると「論理のすり替え」って怒られます。
たとえば「日本ではこうだ、って話しをしてたのにいつのまにか日本以外の話になっているじゃないか」ってな具合にね。

補足

なるほど。確かにそうですね。ただそう考えると次は

問題：「ある実数xについてax2乗＜０が成り立つならばa<0である」の対偶を記せ。
答え：「a>0または=0ならば全ての実数xについてax2乗＞０または＝０が成り立つ」
がわからなくなってしまいました。
「ある実数xについてa>0または＝０ならばax2乗＞０または＝０が成り立つ」としてしまったのですがだめなのでしょうか？

回答No.1

edomin

「Ｍに属さないＸ」に対しての証明をしても、「Ｍに属すＸ」に対する証明にはならないからです。
（Ｍに属する）「すべて」のＸについて成り立つ命題ですから、そのうちの１つでも成り立たないことが証明できれば最初の命題は否定できます。

お礼

簡潔に書いていただいてわかりやすかったです。
ありがとうございました！