空集合の扱い方について

質問

とっても読みにくい文章になってしまいましたが、回答お願いします。記述の仕方のささいな誤りは見逃してください…

「P(x)を満たす任意のx∈R(実数)がQ(x)を満たす。」という命題（命題１）について、
P(x)を満たすxが存在しないとき（つまり、{x∈R|P(x)}=Φのとき）、この命題は真だと説明されました。
理由としては、
「この命題が偽ならば、P(x)を満たすがQ(x)を満たさないxが反例として存在するはずだが、P(x)を満たすようなxはそもそも存在しない。よって真である。」
ということらしいのです。

そこで、Q(x)の否定をR(x)として、「P(x)を満たす任意のxがR(x)を満たす。」（命題２）の真を同様に証明することもできるのでしょうか？

もしできるのなら続けて質問があります。

P(x)を満たすxの集合をS、Q(x)を満たすxの集合をTとすると、命題１が成り立つとき、SはTに含まれています。Sが空集合の場合を考えると、空集合は任意の集合の部分集合である、といえます。（これは授業でやりました）
しかし命題２が成り立つならば、SはTに含まれていません。空集合はどの集合にも含まれない、ということになりますよね。
空集合は任意の集合の部分集合であると同時に、どの集合にも含まれないという理解で良いのでしょうか？
また、Q(x)=（x≦u）とすると、「SはTの部分集合である⇔uはSの上界である」となり、命題１をこれまでと同様に命題１をあてはめると、任意の実数uは空集合Φの上界である。となり、命題２をあてはめると任意の実数uは空集合Φの下界である。ということになりますが、これも上と同様の、任意の実数uは空集合Φの上界であり、下界である、というふうに理解したのでよいですか？

回答No.1

koko_u_u

> しかし命題２が成り立つならば、SはTに含まれていません。

いいえ。そんなことはないでしょう？
Sは空集合なんだから、Tに含まれ同時にTの補集合にも含まれるということです。

> これも上と同様の、任意の実数uは空集合Φの上界であり、下界である、というふうに理解したのでよいですか？

こっちはそれでよいです。

普通に命題 P => Q が P が偽の時は真になる、ということの具体的な例をいろいろ考えていることになりますね。

お礼

なるほど、補集合に含まれたら、そのもとの集合に含まれない、と考えるのは間違いということですね。

納得しました。ありがとうございました。