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空集合の扱い方について

とっても読みにくい文章になってしまいましたが、回答お願いします。記述の仕方のささいな誤りは見逃してください… 「P(x)を満たす任意のx∈R(実数)がQ(x)を満たす。」という命題(命題1)について、 P(x)を満たすxが存在しないとき(つまり、{x∈R|P(x)}=Φのとき)、この命題は真だと説明されました。 理由としては、 「この命題が偽ならば、P(x)を満たすがQ(x)を満たさないxが反例として存在するはずだが、P(x)を満たすようなxはそもそも存在しない。よって真である。」 ということらしいのです。 そこで、Q(x)の否定をR(x)として、「P(x)を満たす任意のxがR(x)を満たす。」(命題2)の真を同様に証明することもできるのでしょうか? もしできるのなら続けて質問があります。 P(x)を満たすxの集合をS、Q(x)を満たすxの集合をTとすると、命題1が成り立つとき、SはTに含まれています。Sが空集合の場合を考えると、空集合は任意の集合の部分集合である、といえます。(これは授業でやりました) しかし命題2が成り立つならば、SはTに含まれていません。空集合はどの集合にも含まれない、ということになりますよね。 空集合は任意の集合の部分集合であると同時に、どの集合にも含まれないという理解で良いのでしょうか? また、Q(x)=(x≦u)とすると、「SはTの部分集合である⇔uはSの上界である」となり、命題1をこれまでと同様に命題1をあてはめると、任意の実数uは空集合Φの上界である。となり、命題2をあてはめると任意の実数uは空集合Φの下界である。ということになりますが、これも上と同様の、任意の実数uは空集合Φの上界であり、下界である、というふうに理解したのでよいですか?

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みんなの回答

  • 回答No.1

> しかし命題2が成り立つならば、SはTに含まれていません。 いいえ。そんなことはないでしょう? Sは空集合なんだから、Tに含まれ同時にTの補集合にも含まれるということです。 > これも上と同様の、任意の実数uは空集合Φの上界であり、下界である、というふうに理解したのでよいですか? こっちはそれでよいです。 普通に命題 P => Q が P が偽の時は真になる、ということの具体的な例をいろいろ考えていることになりますね。

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質問者からのお礼

なるほど、補集合に含まれたら、そのもとの集合に含まれない、と考えるのは間違いということですね。 納得しました。ありがとうございました。

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