• ベストアンサー
  • 困ってます

「集合Sの真部分集合S'からSへ全単射写像が存在する時、Sを無限集合という」を使ってのR:無限の証明は?

無限集合の定義は 「集合Sの真部分集合S'からSへ全単射写像が存在する時、Sを無限集合という」 だと思います。 NやQやZは無限集合であることはわかりますが、 R(実数の集合)が無限集合であることは上の定義から導く事は可能なのでしょうか? N⊂Rで 「無限集合を含む集合は無限集合である」 という命題からRは無限集合と導く他ないのでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数7
  • 閲覧数394
  • ありがとう数9

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.7
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

#4&#5 です. f' が全単射であることは, f が全単射であることを使って次のように示すことができます: ・単射であること x1 ≠ x2 なら f'(x1) ≠ f'(x2) であることを示す. ここで x1 ≠ x2 なら ([x1] ≠ [x2] または x1 - [x1] ≠ x2 - [x2]) である. よって, 1.[x1] ≠ [x2] と仮定すると f は単射なので f([x1]) ≠ f([x2]) である. 一般性を失うことなく f([x1]) > f([x2]) を仮定できる. ここで f の値域は Z なので f([x1]) ≧ f([x2]) + 1 であることに注意する. x1 - [x1], x2 - [x2] はどちらも 0以上 1未満なので f'(x1) = f([x1]) + (x1 - [x1]) ≧ f([x1]) ≧ f([x2]) + 1 > f([x2]) + (x2 - [x2]) = f'(x2). よって f'(x1) ≠ f'(x2). ・全射であること y ∈ R に対し f'(x) = y なる x が (f' の定義域中に) 存在すればよい. f が全射なので f(z) = [y] となる z ∈ Dom(f) が存在する. このような z を用いて z1 = z + (y - [y]) とおくと [z1] = z なので z1 ∈ Dom(f') であり, かつ f'(z1) = f([z1]) + (z1 - [z1]) = f(z) + (z1 - z) = [y] + (y - [y]) = y. なので, 「整数部は『元に戻し』て, 小数部をひっつける」という方針でいけるはずです.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答有り難うございます。 おかげさまで納得できました。m(_ _)m B:={f:map|f:A(∈2^Z\{Φ}\{Z})→Z}の時、B≠Φだから (∵f:{2z|z∈Z}(=:A)→Z;A∋a(=2z)→a/2∈Zというものが採れる) よってf∈Bに対し、 f':Dom(f)→R;Dom(f)∋x→f([x])+(x-[x])で与えると f':全単射 (∵ 単射である事は略。 全射である事を示す ∀y∈Rに対し、∃f^(-1)([y])∈Dom(f) (∵[y]∈Z,f:全単射)より x:=f^(-1)([y])+(y-[y])と採れる。 実際、 f'(x)=f'(f^(-1)([y])+(y-[y])) =f([f^(-1)([y])+(y-[y])])+(f^(-1)([y])+(y-[y])-[f^(-1)([y])+(y-[y])]) =f(f^(-1)([y])+(f^(-1)([y])+(y-[y])-[f^(-1)([y])+(y-[y])]) (∵ z+ε:=y(z∈Z,ε∈[0,1))と置くと [f^(-1)([y])+(y-[y])]=[f^(-1)([z+ε])+(z+ε-[z+ε])] =[f^(-1)([z+ε])+(z+ε-z)] (∵ガウスの記号の定義) =[f^(-1)([z+ε])+ε] =f^(-1)([z+ε])(∵fの定義よりf^(-1)([z+ε])∈Z) ) =[y]+(f^(-1)([y])+(y-[y]))-(f^(-1)([y]) =y よってf:全射 ) よって 全単射 ∃f':A(∈2^R\{Φ}\{R})→R より R:無限集合

関連するQ&A

  • 自身への写像が全単射となることの証明

    (1) 写像f:A→Aとする。Aが有限集合であるとき、写像fが単射ならばfは全単射である事を示せ。 (2) Aが無限集合であるとき、fは全単射か。そうであれば証明せよ。そうでないなら反例を示せ。 上の問題の(1)は以下のように考えました。 f(A) は A の部分集合。 f(A)≠A と仮定すると、A とその真部分集合との間に全単射が存在したことになる。これは、無限集合の定義であるため、有限集合は全単射である。 このような証明で十分なのでしょうか?また、上のように考えたのでAが無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。 わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

  • "無理数全体の集合から実数全体への全単射が存在する"の証明の説明をお願いします。

    次の問題の解答で分からないところがあるので説明をしてもらいたいです。 問: 無理数全体の集合からRへの全単射が存在することを証明せよ 解: R-Q から R への全単射の存在を示せばよい R-Q は無限集合であるから、可算部分集合 A が存在する ここで Q は可算集合なので、A∪Q は可算集合 よって全単射 f: A→A∪Q が存在するので 関数 g:R-Q →Rを     g(x)= { x (x∈R-A)         〔 f(x) (x∈A) と定義すると g は全単射である ■ 最後のところで、なぜgを上のように定義すると全単射になるのかがわかりません。 よろしくおねがいします。

  • 無限集合の定義で

    ∃f:全単射 such that f:A→B (但し、BはAの真部分集合) の時、Aを無限集合と言うのがデデキントの無限集合の定義だと思いますが 非可算集合の時にも(例えば実数体)このような全単射写像はするのでしょうか?

その他の回答 (6)

  • 回答No.6
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

#5 です. ボケてますね. 悲しいのでボケてない回答を: 関数 f を, 定義域 Dom(f) ⊂ Z, 値域 Range(f) = Z である任意の全単射とします. このとき, 実数x に対して f' = f([x]) + (x - [x]) と定義します ([x] は Gauss 記号). この f' は定義域が {x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}, 値域が R となることは明らか.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答有り難うございます。 > 関数 f を, 定義域 Dom(f) ⊂ Z, 値域 Range(f) = Z である任意の全単射とします. 例えば f:{2z|z∈Z}(=:A)→Z A∋a(=2z)→a/2∈Z で与えればfは全単射ですよね。 > このとき, 実数x に対して > f' = f([x]) + (x - [x]) > と定義します ([x] は Gauss 記号). f'でのxの定義域はf([x])の[x]が偶数にならないといけないから ∪[2z,2z+1) ですね。 > この f' は定義域が {x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}, 値域が R となることは明らか. {x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}=∪[2z,2z+1) でRの真部分集合になってますね。 単射である事は x1≠x2なるx1,x2∈{x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}を採ると f([x1]) + (x1 - [x1])- {f([x2]) + (x2 - [x2])} = 1/2[x1] + (x1 - [x1])- {1/2[x2] + (x2 - [x2])} =1/2([x1]-[x2])-[x1]+[x2]+x1-x2 =-1/2([x1]-[x2])+x1-x2…(*) となり、x1≠x2よりx1=x2+aなる(0≠)a∈Rが存在する、 (i) a>0の場合、(*)に代入して =-1/2([x2+a]-[x2])+x2+a-x2 =-1/2z+a (z∈[0,1,…]) と書け、-1/2z<aより、-1/2z≠aで ≠0 又、(ii) a<0の場合も同様。 よって f'(x1)≠f'(x2) でf':単射 それで全射の場合は ∀y∈Rに対し、どのようにxを定めればいいのでしょうか?

  • 回答No.5
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

例えば 「小数第2位と第3位を入れ替える」 なんて操作でも R→R の全単射 (っぽい) ですよね. 「っぽい」なのは, 実はちょっとごまかしてるから. 小数表記を厳密に規定すればいいんだけど.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

有り難うございました。 おかげさまで一歩前へ進めました。

  • 回答No.4
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

そのような全単射写像はいくらでもあるんではないですか?たとえば、 tan x:(-π/2,π/2)→(-∞,∞) ですね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

有り難うございました。 おかげさまで一歩前へ進めました。

  • 回答No.3
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

1/x は嘘でした。ごめんなさい。{0}の逆元はないですね。R\{0}→R\{0}でした。分数関数などで作るのはたぶん無理だと思います。 これも広義には関数を用いた例ですが、たとえば[0,1)→[0,2)なる写像x→2xを参考にして、[2,3)→[2,4):x→2x-2などを使って、∪_{n=-∞~∞}[2n,2n-1)→Rは作れます。本質的には多項式しか使ってません。直感的には[0,2)が無限集合であること使っているだけですけどね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

有り難うございました。 おかげさまで一歩前へ進めました。

  • 回答No.2

tan(x)を-π/2からπ/2上で考えるとRとの1対1対応を与えていることが分かります。ここで気をつけなくてはならないのが循環論法の類です。tanなどの関数は、実数が一度構成されてしまえば実数全体が上の定義にしたがって無限集合であることを示されることなく、積分などによって定義されるのでこの全単射は問題なく上の定義における例を与えています。もっと初等的な関数も作れますが身近で思いついたのがこれでした。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

有り難うございました。 おかげさまで一歩前へ進めました。

  • 回答No.1
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

たとえばI=(-π/2,π/2)⊂Rとして、f:I→Rをtanで定義すると全単射です。どころかC^{∞}-級微分同相にさえなります。実際問題として、構成的にならいくらでも全単射は作れますが、関数を利用したものの方がわかりやすいでしょうね。log:(0,∞)→Rなんかを用いてもよいでしょう。あるいは分数関数1/xなんかはR\{0}→Rの全単射ですね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

有り難うございます。 > 分数関数1/xなんかはR\{0}→Rの全単射ですね。 これが一番わかりやすいです。 でもf:R\{0}→R;R\{0}∋x→f(x)∈R において 逆元 f^-1(0) は存在するのでしょうか?

関連するQ&A

  • Q.Xを自然数全体の集合Nの部分集合とするとき、|X|>アレフゼロを証

    Q.Xを自然数全体の集合Nの部分集合とするとき、|X|>アレフゼロを証明せよ。 以下、ネットでのどなたかの回答を参考に、私なりにテキストを読み返すなどして解釈して、作成しました。 テスト問題としての解答として、 「修正および補足」などをお願いします。 A. |X|=|N|と仮定すると、NからXへの全単射fが存在する。 ∀n∈N ⇒ f(n)=M, ∃M∈X ∀M∈X ⇒ f(n)=M, ∃n∈N つまり 1 ←→ M1 2 ←→ M2 ・ ・ n ←→ Mn ・ ・ このとき、左右の対応関係について、属するか属さないかを分類でき、 N∈Mn または n?Mnとなる。 次に集合M'を以下のように定義する。 (1) n∈Mnのときnを要素としない。 (2) n?Mnのときnを要素とする。 この集合は一意に決まり、また自然数だけを要素に持つ集合となり、明らかに自然数の部分集合を意味する。 つまりM'∈Xであるが、このM'は定義により、上の対応関係からは外れている。 これはNとXとが全単射できたという仮定に矛盾する。 |X|≠アレフゼロ また、写像g:N→Xをgn={n}とすると、これは単射であるから |N|=アレフゼロ≦|X| 以上より、アレフゼロ<|X|

  • 写像の単射と全単射

    写像の定義に関して本で 単射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが一意的 全射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが存在 全単射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが一意的に存在 という説明がありました。 単射であって全単射でない場合はあるのでしょうか?具体例を教えて いただければと思います。

  • 集合と写像

    集合と写像に関する証明で,そうなるということはわかっているのですが,どのように証明すれば良いかわかりません。 問題は 集合Xから集合Yへの写像f:X→Yによる像に関して,以下を示せ。 (1) 任意の部分集合A,B⊂Xに対して,f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) (2) fが単射であるならば,任意の部分集合A,B⊂Xに対して,   f(A∩B)=f(A)∩f(B)が成り立つ (3) Xの任意の部分集合A,B⊂Xに対して,f(A∩B)=f(A)∩f(B)が成り立つならば   fは単射である。 どなたか解説お願いします。

  • 全単射の数

    f:{1,2,3,4,5}→{1,2}でできる写像のうち、全単射の数を求めよという問題で、 写像の総数2^5=32。そのうち全射にならないものは、全て1に行く写像と全て2に行く写像の2つ。よって32-2=30が全単射の数と本に書かれていました。 自分は集合{1,2,3,4,5}が集合{1,2}に対応させられると、対応先がどうしても被るので単射になる写像が0で、全単射も0だと思いました。 本の正誤表はインターネットで調べても出てこなかったので、本が正解だと思うのですが、どなたかこの問題の解説をしてくださいお願いします。

  • もう1問部分集合族です

    Xを実数全体の集合とし、Xの部分集合An={x∈X:-1/n<x<1/n}とする。このとき、Xの部分集合族{An:n∈N}について、次の集合を求めよ。 (1)∪{An:n∈N} (2)∩{An:n∈N} *定義 ・いずれかのAλの元である Xの元全体の集合を、部分集合族{Aλ:λ∈Λ}の和集合といい ∪{Aλ:λ∈Λ} で表す。 ・すべてのAλの元であるXの元全体の集合を、部分集合族{Aλ:λ∈Λ}の共通集合といい ∩{Aλ:λ∈Λ} で表す。

  • fが全単射⇒f-1が全単射

    ----- f:A→Bが逆写像をもつ⇔fは全単射 ----- が示せると ----- fが全単射⇒f-1が全単射 ----- が言えるんですか?

  • 部分集合族の問題です

    Xを実数全体の集合とし、Xの部分集合An={x∈X:n<x}とする。このとき、Xの部分集合族{An:n∈N}について、次の集合を求めよ。 (1)∪{An:n∈N} (2)∩{An:n∈N} *定義 ・いずれかのAλの元であるXの元全体の 集合を、部分集合族{Aλ:λ∈Λ}の和集合といい ∪{Aλ:λ∈Λ} で表す。 ・すべてのAλの元であるXの元全体の集合を、部分集合族{Aλ:λ∈Λ}の共通集合といい ∩{Aλ:λ∈Λ} で表す。 ヒントだけでもいいのでお願いします。

  • 写像と部分集合の関係

    fを集合Aから集合Bへの写像とし、A1,A2をAの部分集合、B1,B2をBの部分集合とし たとき、 f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2) と f^(-1)(f(A1))⊃A1 が成り立つそうですが、なぜ f(A1∩A2)=f(A1)∩f(A2) や f^(-1)(f(A1))=A1 とならないのかがわかりません。 (f^(-1)は逆写像です)

  • f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像

    f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像とし、g⚪︎f:X→X、f⚪︎g:Y→Yをそれらの写像の合成写像とする。次の記述1から5について、 1:gが全射ならば、g⚪︎fは全射である。 2:g⚪︎fが全射ならば、fは全射である。 3:g⚪︎fが単射ならば、gは単射である。 4:Yが有限集合で、g⚪︎fとf⚪︎gが全射ならば、fは全単射である。 5:f⚪︎gが全単射ならば、g⚪︎fは全単射である。 常に正しいのは4であるそうですが、その理由がわかりません。どなたか教えて下さいませんか。

  • 写像が全単射となるための必要条件

    写像f:R^2→R^2,f(x,y)=(ax+by,cx+dy)が全単射となるときの必要十分条件を求めたいです。(ただし、a,b,c,d∈Rとする。) たしか、全単射の必要十分条件は、「逆写像が存在する」だったと思うのですが、それは、R→Rのときだけなのでしょうか、ぜんぜん、関係ないかもしれませんが。 よろしくご教授ください。