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集合、最大元＆最小元と上限＆下限

S ⊆ Q(有理数)、x∈S ⇔ 18x-x^3≧0 a)Sは最大元を持っているか？持っていれば何か？ b)Sは最小元を持っているか？持っていれば何か？ c)Sに上界はあるか？あれば何か？ d)Sに下界はあるか？あれば何か？ 途中の過程も教えていただけると助かります。

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回答No.1

まず、18x-x^3がxの区間によりどんな正負の変化を取るか確認してください。 a) 最大元はありません。 なぜなら、x=3√2よりちょっと小さいどんな有理数qをとったとしても、 qと3√2のあいだに有理数が存在するからです。 b) 最小元はありません。 18x-x^3はx<-3√2で正だからです。 c) 上界はあります。x>3√2で、上限が3√2です。任意のx∈Sについてx<3√2が満たされます。 d) 下界はありません。最小元がないのと同様の理由で、 任意のx∈Sについてa<xを満たす、というようなaは存在しません。

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