証明ですごく困ってます

質問

こんにちは。考えてると分かりそうで分からなく気持ち悪くて困ってます。上に有界な有理数の集合は最小上界を必ず持つかどうか？という問題で、定義によるともしSが有理数の集合でUがSのupper boundである時、Sの最小上界はUの要素 a （a≤ x すべてのx∈U ）であるとあったので、もしSの範囲が　t(S内の有理数)　＜２とした時と　t ≦２とした時、前者の場合も後者の場合も２がupper boundになるが、前者の場合は２は最小上界にはならないと考えたのですが、正しいでしょうか？詳しいすっきりする回答宜しくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

有理数は全順序を持つので「上に有界な有理数集合は, 『実数の』最小上界を持つ」は正しいはず. 一方, 「上に有界な有理数集合が, 『有理数の』最小上界を持つ」ということであれば, 一般には no です.
例えば, 「√2 を 10進展開して有限桁で打ち切った値」は全て有理数ですが, それらからなる集合 (当然上に有界) の最小上界である √2 は有理数じゃないですね.
S1 = { x in Q | x < 2 }, S2 = { x in Q | x ≦ 2 } としてみます.
上界は, どちらも U = { x | x ≧ 2 } です (確認してみてください). 従って, 上限 = 最小上界はどちらも 2 となります.

お礼

何とか理解できました。ありがとうございました。

補足

親切な説明どうもありがとうございます。理解は出来たのですが、数学的に√２は有理数でない事をどう説明すればよいのでしょうか？

回答No.3

kabaokaba

＃もうちょっと読みやすく・・・なぜ「upper bound」だけ英語なのか(^^;

最小上界・・・上限ですね．
S1 = { x in Q | x < 2 },
S2 = { x in Q | x ≦ 2 }
S3 = { x in R | x < 2 }
S4 = { x in R | x ≦ 2 }
全部「上限」は2です．
「上限の定義」と「有理数の稠密性」を理解していますか？

実数の部分集合Aに対して，実数αがAの上限であるとは
任意の正の数εに対して，
α-ε< a ≦ α
を満たすAの要素aが存在することです．
そして，有理数の稠密性より
上のS1からS4まで共通に
任意の正の数εに対して
2-ε< a ≦ 2
と満たすS1からS4の要素aが存在します．

＃ぶっちゃけ。。。
＃1.9，1.99，1.999，・・・って列を考えるだけでもOK

回答No.2

Tacosan

あ, しまった. #1 の最初の文は誤解を招くおそれがあります. ごめんなさい.
実数の構成法として, 「収束する有理数列」を使うってのがあります. それを念頭においてました.