２の平方根が有理数で表せないことの証明

質問

√2が有理数でないことの証明についての質問です。
有理数だとしてn/mとおいて両辺を二乗して、、、という証明は知ってるのですが、別の証明を見たのですが、いまいちわからないところがありましたので質問させていただきました。
この証明は
A={t|t^2<2, tは正の有理数}
B={t|t^2>2, tは正の有理数}
として、
∀t∈A, ∃x∈A, t<x
∀t∈B, ∃x∈B, t>x
ということを示して（ここまではわかりました）

√２は有理数であらわせない→有理数の完備化が必要→実数の紹介という流れで行ってるのですが、なんでAが最大値を持たないこととBが最小値を持たないことが√２が有理数であらわせないことになるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

そこに疑問を持つのはたぶん正しい.

「A が最大値を持たない」「B が最小値を持たない」としても, それだけで「√２が有理数であらわせない」とはならないはず. 同じ議論を 1 に対して適用すると変な感じがする.

お礼

回答ありがとうございました。　

やっぱりそうですよねー

回答No.5

B-juggler

εーδ　当たりに強い人が、数学にはいらっしゃるだろうから、速いと思うよ。

で、σ(・・*)代数屋は、∀と∃　に自身が無いから下のは分からない、としておきます。

写像で取ると、

√　をかけることを　写像ｆ　と取ると、

実数空間　実数∋ｘ　に対して、　ｆ・ｘ　＝　２　

となる、ｘ　が存在するが、

このｘを有理数と取ると（仮定ね）、ｘ＾２＝２　とならなきゃいけない。

　＃（√ｘ）＾２　＝２　のことだからね。

この有理数ｘは存在しない。　よってｘは無理数。

上のやり方に少し足してあげると、こんな感じで。

たくさん知っておく必要は必ずしもあるわけではないよ。

Ｎｏ．１さんもそのあたりかかれているけどね。　（いつもお世話様(o｀・ω・)ゞデシ!!）

数学で出したが速いよ～。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.4

old_sho

No.2ですが、無視してください。どうも（１）は、簡単に示せることだという思い込みが強かったですね。もちろん、示すことは出来ますが、順番が逆というべきでした。取り消しの仕方が分からないので、お邪魔さまでした、ということで。

回答No.3

wiz0621

無理数の証明というとギリシャ哲学の根本概念ですねー。
色々方法はありますけど、結局『存在しないことの証明』は大枠では『存在が矛盾することの証明』で
あるわけです。（方法論としては帰納法であったり、無限降下法であったり様々でしょうが。

全文を見てないのでなんともいえないですが、1～2行目だけを見てこの先を予想すると、
同じ極限値を持つ関数と関数で第三の関数をはさむことができる場合、
第三の関数も同じ極限値を持つという『はさみうちの定理』を使いたいんじゃないでしょうか？

簡単に言うと、ある関数（この場合"2")をf(t)=t^2とf(t)=-t^2ではさんでも、
２には収束しないよね？（つまり矛盾するよね？）ってことを言いたいんだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

はさみうちってことはf(t)=t^2 (t∈A)とg(t)=t^2 (t∈B)ってことでしょうか？？

回答No.2

old_sho

通常、有理数体が完備でないことを示す例に使われることを、非完備性から証明しようというのですから、有理数体の非完備性について何か説明があったのでしょうか。

簡単には、
（１）Ａ∪Ｂが正の有理数全体になること。∀x>0∈Q　→　 x∈Ａ∪Ｂ

（２）√２はＡの要素の全てより大きいし、Ｂの要素の全てより小さい。したがって、√２はＡの要素でもなく、Ｂの要素でもない。この箇所で、Aが最大値を持たないこととBが最小値を持たないことが、効いてくるのです。
ゆえに、√２は有理数ではない。

完備性の問題とすると、だいたい次の流れです。
（２）√２に向かうＡの要素の点列a1, a2,..an...、√２に向かうＢの要素の点列b1, b2,...bn....があって、bn - an → 0 となる数列が作れる。
ここのところは理系の講義であれば、実際に式を立てて、a1,b1,a2,b2,....がコーシー列になることを示すものです。コーシー列は収束しますが、その収束値をαとすると、
（３）αはＡの要素とも、Ｂの要素とも言えないことが、簡単に証明できます。（２）の証明の過程の式から、αはＡの要素どれよりも大きいし、Ｂのどの要素よりも小さい、と分かりますから。
以上で無事、αが有理数体にはないこと、有理数体は完備でないことが証明された、という流れです。