(x,y)に有理数があるかどうか
- 有理数は上にも下にも有界でないので、区間(x,y)に有理数が存在する。
- 具体的には、p<x<y<qとなる有理数p、qが存在する。
- さらに、(p+q)/2∈(x,y)ならば終了し、そうでない場合は区間を狭めていき、有理数の平均値を求めることで区間内に有理数が存在することを示すことができる。
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(x,y)に有理数があるかどうか
x,yを実数としたとき(x<y)、区間(x,y)に有理数があることをしめすという教科書の問題を模範解答とは違う方法でやってみたので、間違ってるところを指摘もらえますか？よろしくお願いします。 有理数は上にも下にも有界でないので、p<x<y<qとなる有理数p、qが存在する。 1. (p+q)/2∈(x,y)ならば終了 2. そうじゃない場合 a) y<(p+q)/2 ならば (p+q)/2=q_1とし p<x<y<q_1 b) (p+q)/2<x ならば p_1=(p+q)/2とし (p_1)<x<y<q と区間を狭めていく。 そこからまた 不等式の両端を平均して、、、というのをくりかえす 有理数足す有理数÷２は有理数。 y-xは無限大や無限小ではないので、 有限回のうちに区間(x,y)に平均値を持つような有理数が出てくる といった感じでしめせてますでしょうか。。。？
- nemuine8
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> p_n∉(x,y)かつq_m∉(x,y) p_n ≦ x < y ≦ q_mでしょうか？ おっと、そうでした。 > least upper bound propertyを持つordered fieldをRとする。Rの要素が実数といった感じで実数の定義 これが、「実数体を順序完備な順序体と定義する」と言う事です。
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- tmpname
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それであれば、p_n∉(p,q)かつq_m∉(p,q)である限りは必ずp_n ≦ p < q ≦ q_m になっていることをきちんと言っておけば良いでしょう。 後、No.4さんの言われる通り、一度その教科書で実数体というのがどう定義されているかを確認した方がいいでしょう。ちなみに「任意の実数x,y(x>0)に対してnx>yをみたす自然数ｎが存在する」というのが実数体の「Archimedes性」と言われるものです。Archimedes性を持つ順序体は実数体以外にも存在します（*）が、その中でさらに「順序完備」なものは実数体に限られます（というか、順序完備な順序体はArchimedes性を持ちます）。 (*)と言っても、Archimedes的な順序体はすべて実数体のある部分体と順序同型ですが...
お礼
回答ありがとうございます。 ＞ p_n∉(p,q)かつq_m∉(p,q)である限りは必ずp_n ≦ p < q ≦ q_m というのは p_n∉(x,y)かつq_m∉(x,y) p_n ≦ x < y ≦ q_m でしょうか？ この教科書は 1.有理数だけでは2の平方根などがあらわせない 2.set, fieldのさわりの説明とleast upper bound propertyの定義 ときて least upper bound propertyを持つordered fieldをRとする。 Rの要素が実数 といった感じで実数の定義が説明されていますが、これってどの定義？なのでしょうか。
- uyama33
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証明の前提がはっきりしません。 １．実数とは何か？ たとえば、アルキメデス型の完備順序体 または、有理数のコーシー列を類別して、作ったもの。 または、デデキンドの切断によって定義する。 ２．とくに、実数と有理数の関係をはっきりさせるのが大切だと思います。 ３．定義によっては、証明がとても簡単になる。あるいは面倒になる。 どれを定義にしているのでしょうか？ それによって証明方法が決まります。
お礼
回答ありがとうございます。 この問題は解析学の最初の教科書の最初のほうに乗っているやつです。 この問題はこの教科書では大問の2つ目の問題で一つ目の証明は任意の実数x,y (x>0)に対して nx>yをみたす自然数ｎが存在するというものなのですがこれはアルキメデス型の完備順序体のことなのでしょうか。。。？
- tmpname
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まあ「実数が小数表示できる」事を認めてしまえば明らかなんですが、意図としてはそれは何でか、という事ではないかと....実際、順序体でArchimedes的でないものにはそういう「小数表示ができない」ものが存在するわけですし。
- graphaffine
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模範解答がどんなものかわからないが、いま思いついたものを書いてみる。 x、yはどちらも正の数としてよい。このとき、x<yだからそれぞれの小数表示を考えた場合、次のような自然数kが存在する。 x、yの小数第k位までは一致し、小数第(k+1)位の数字が異なる。 このとき、xの小数第(k+2)位以降を全て0に置き換えた数x'は有理数で、y<x'<xである。 >といった感じでしめせてますでしょうか。。。？ 「有限回のうちに区間(x,y)に平均値を持つような有理数が出てくる」ということを示す方針は誤っていないが、そのような有理数の存在がはっきり示されていないので、証明とは言えないでしょう。
お礼
回答ありがとうございます。 なるほど。少数を使う方法もあるので ＞そのような有理数の存在がはっきり示されていない というのは(ｘ,y)に有理数がないかもしれないということでしょうか？
補足
お礼に書いた というのは(ｘ,y)に有理数がないかもしれないということでしょうか？ は その証明だけでは有理数がない可能性がのこってしまうのでしょうか？ という意味です。
- tmpname
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まあ分かっているのかも知れませんが、問題は「有限回のうちに区間(x,y)に平均値を持つような有理数が出てくる」というのが（文章が意味不明なのは置いておくとして）明らかでないことです。 実際考えている体がArchimedes的でないときは反例があります。その辺を「y-xは無限大や無限小ではない」という言葉に込めているのかも知れませんが、この一言だけでは分かっているのかいないのか判断出来兼ねます。 という訳で、「有限回のうちに区間(x,y)に平均値を持つような有理数が出てくる」の所を、まず文章を整理してから詳しく理由を書いてみてくれませんか？
お礼
回答ありがとうございます。 >文章が意味不明なのは置いておくとして どういう風に書けばよかったのでしょうか？ >実際考えている体がArchimedes的でないとき 解析学の一番最初の教科書の第一章にでてきた問題ですが、それで判断できますでしょうか？ >まず文章を整理してから詳しく理由を書いてみてくれませんか？ 区間(p,q)の長さはq-pで、平均値を取ったあとの長さは(q-p)/2になります。つまりk回作業を繰り返したあとの長さは(q-p)/(2^k)になります。(q-p)/(2^k)<(y-x)を満たすような実数kはq-p,y-xが無限大、無限小でない実数なので、存在します。k回作業を繰り返したあとは区間がy-xより短くなっているのでその区間の両端を足して2で割った数字は(x,y)に入ってるのではないかなーっておもいました。
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