有理数と無理数について

質問

「有理数は有限小数または循環小数となり、無理数は循環しない無限小数となることを示せ」という問いに関してアドバイスを下さい。　
　私的に考えた解答を書いてみます。
　有理数とは、mおよびnが整数である時、m/nを有理数と呼ぶ。つまり、有限小数または循環小数が分数であるならば、有理数は有限小数または循環小数と言える。
例えば循環小数A=0.12121212・・・・を分数にする。
(10ｘA)-A＝（12.12121212・・・）-（0.12121212・・・）
　　　　9A＝12
　　　　　A＝4/3
となり、循環小数Aは分数となり有理数は有限小数または循環小数である。・・・・・どうでしょうか？
「無理数が循環しない無限小数である」というのは実数数において有理数以外のものが無理数だと認識している私は、分数表示できない数は無理数である・・としか示せないので、なんだか上手に表現できません。

アドバイス待ってます。

回答No.2

nubou · ベストアンサー

有理数の定義：適当な自然数ｐと適当な整数ｑによってｑ／ｐとなる数
無理数の定義：有理数でない実数

「無理数⇒循環しない小数」の証明：
公比１未満の等比級数は適当な自然数ｐと適当な整数ｑによってｑ／ｐとなるから循環する小数は有理数である
無理数が循環する小数だとしたらそれは有理数であるので矛盾

「有理数⇒循環する小数」の証明：
０以上１未満の有理数について証明する
このとき有理数はｑ＜ｐである適当な２つの自然数ｐとｑによってｑ／ｐと表現される
１０・ｑをｐで割った余りをｒ［１］とし商をｑ［１］とする
ｋ＝１，２，３，４，・・・として
１０・ｒ［ｋ］をｐで割った余りをｒ［ｋ＋１］とし商をｑ［ｋ＋１｝とする
このときｑ／ｐを小数表示すると
０．ｑ［１］ｑ［２］ｑ［３］ｑ［４］ｑ［５］ｑ［６］・・・
ｒ［ｋ］は０以上ｐ未満の整数なので必ず
ｍ＜ｎである適当な２つの整数ｍとｎに対してｒ［ｍ］＝ｒ［ｎ］となる
このとき各桁の求め方から判断してｑ／ｐを小数表示したときの小数点ｍ位以下の並びは小数点ｎ位以下の並びと同じになる事が分かる
すなわちｑ／ｐの小数表示は循環する
また０＝０．０００００・・・であるから０の小数表示も循環する
任意の有理数は適当な整数ｉと０以上１未満の適当な有理数ｓによってｉ＋ｓと表現されるので任意の有理数の小数表示は循環する

回答No.6

nubou

実を言うと「無理数は有理数出ない実数である」というのはインチキ臭いのです
実数とはなんぞやとういう問題に突き当たるからです

自然数：自然に定義する
整数：自然数に０と自然数・（－１）を追加して定義する
有理数：整数／自然数で定義する
実数：デデキントの切断または有理数のコーシ列または有界な単調有理数列によって定義する
デデキントの切断：有理数全体を一方の任意元が他方の任意元より小さい２つの集合に分割すること
デデキントの切断例：平方が２より大きい正の有理数の集合とそれ以外の有理数の集合

実数の定義が意味を持つために少なくとも一つの有理数以外の実数を示さなければなりません（前記例では√２）

「無理数⇒循環しない小数」の証明：
循環小数は
Ｎ：適当な自然数
Ｍ：適当な自然数
Ａ：適当な整数
Ｂ：０以上１０＾Ｍ未満の適当な自然数
Ｃ：０以上１０＾Ｎ未満の適当な自然数
として
Ａ＋Ｂ／１０＾Ｍ＋Σ（１≦ｎ＜∞）・Ｃ／１０＾（Ｍ＋Ｎ・ｎ）＝
Ａ＋Ｂ／１０＾Ｍ＋Ｃ／１０＾Ｍ／（１０＾Ｎ－１）
だから循環小数は有理数である
従って無理数は循環小数でない

「有理数⇒循環する小数」の証明：
このとき有理数はｑ＜ｐである適当な０以上の整数ｑと適当な自然数ｐによってｑ／ｐと表現される

回答No.5

kony0

＞「無理数が循環しない無限小数である」というのは実数数において有理数以外のものが無理数だと認識している私は、分数表示できない数は無理数である・・としか示せないので、なんだか上手に表現できません。

考え方はこれでいいんじゃないんですか？

まず、実数の範囲のみを考えていることを明言した上で（これが重要）
「ある数が無理数である」の否定は「ある数は有理数である」（無理数の定義）
「ある数が循環しない無限小数である」の否定は「ある数は有限小数or循環小数である」（自明）
がいえるので、命題（「無理数」→「循環しない無限小数」）の対偶をとると、（「有限小数or循環小数」→「有理数」）を証明すればじゅうぶん。
対偶をとる、ということは、背理法を利用する、ということと根本は変わりませんよね？

あとは、TICSさんの言及どおり、「有理数」→「有限小数or循環小数」の証明が、「逆」の証明になっているのでよろしくないということと、この証明法は、nubouさんの言及どおりでいけると思います。
俗っぽくに言ってしまうと・・・筆算で割り算をしているときに、「ひきざん」したあとに出てくる数字は０から「（分母の数）－1」までの整数どれかしかなくて、前に出てきたことのある数字が出てきたら、そこからはそのときのパターンを繰り返す・・・ということです。

（TICSさんとnubouさんの「つけたし」にすぎないので、「自信なし」で。）

回答No.4

shadoworks

『有理数＝分数で表せる数【ｍ／ｎとおきます】
　を有限小数と循環小数の和にできることを証明』
【ヒント１】
　２以外の素数では、１０の（素数ー１）乗を、
その素数で割った余りは１である【定理の系】
【ヒント２】
ＡをＸで割った余りが１、ＢをＹで割った余りが１、
このとき、Ａ＊ＢをＸ＊Ｙで割った余りは１です。
【ヒント３】ｎを素因数分解してください。
『無理数は循環しない無限小数になる』
【ヒント】
「循環しない無限小数」ではない数は有理数ですか？

回答No.3

nubou

このとき有理数はｑ＜ｐである適当な０以上の整数ｐと適当な自然数ｑによってｑ／ｐと表現される
「また０＝０．０００００・・・であるから０の小数表示も循環する」カット

回答No.1

noname#5179

（有理数）→（有限小数or循環小数）を証明するのに、

（有理数）＝（分数で表現できる）
（有限小数or循環小数）→（分数で表現できる）
ということで証明されているようですが、これでは、上の式を証明したことにはならないのがわかると思います。

（有理数）＝（分数で表現できる）
（分数で表現できる）→（有限小数or循環小数）
を証明する必要があります。

（無理数）→（循環しない少数）の証明は、こうならない例を仮定します。
（無理数）の中にで有限または、循環する小数があると仮定して、矛盾を見つけましょう。
結果として、（無理数）→（循環、有限小数）となる例はない。
つまり（無理数）→（循環しない少数）となるという証明となります。

お礼

自分の証明のどこが十分でないのかよく分かりました。証明の方針がつかめたと思います。ありがとうございました。