不等式 ｙ≦-2ｘ＾2+5ｘ+3 を考える

質問

受験用に演習問題を解いているのですが、(4)が答えを見ても納得できません。-が大きければ大きいほど、小さい数になると思ってたんですが・・・
解説をどうかよろしくお願いします！！

（１）は解の公式で解きました。
（２）は0,1,2,3 の４個ですか？ でも、ｘ＝0のとき、ｙ＝0にならないんですが・・・
（３）は（２）の４つを不等式にいれて、一番ｙが大きい組み合わせを選びました。
（４）は条件の-2≦ｘ≦4の、（-2）と（4）を不等式に入れて、ｙを出しました。すると、（-9）と（-15）が出ました。最も大きいものなので、（-9）だと思いましたが、正解は（-15）でした。。。(>_<)　　でも、（３）で、ｘ＝1のときｙ＝6とでているので、最も大きいものは「6」じゃないのか？という疑問も・・・。

問題：
不等式 ｙ≦-2ｘ＾2+5ｘ+3 を考える。
（１）この不等式を満たす二つの整数の組（ｘ，ｙ）を考える。
ｙ＝0のとき、この不等式を満たす実数ｘの範囲は

-1/2≦ｘ≦3
である。
（２）したがって、この不等式を満たす二つの整数の組（ｘ，ｙ）の中で、ｙ＝０のものは ４個ある。

（３）また、この不等式を満たす２つの整数の組（ｘ，ｙ）の中で、ｙが最も大きくなる組は

（1，6）
である。

（４）-2≦ｘ≦4を満たすすべての実数ｘに対してこの不等式が成り立つような実数ｙを考える。
このようなｙの中で最も大きいものは -15 である。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
1つずつ見ていきましょうか。＾＾

＞（１）は解の公式で解きました。
因数分解できることも、確認しておいてくださいね。

＞（２）は0,1,2,3 の４個ですか？ でも、ｘ＝0のとき、ｙ＝0にならないんですが・・・
-1/2≦ x≦ 3を満たす整数ということですから、その答えで合っていますよ。
で、満たすべき式は方程式ではなく、不等式ですよ！

＞（３）は（２）の４つを不等式にいれて、一番ｙが大きい組み合わせを選びました。
これは、結果オーライですね。
というのは、この時点で y＝ 0のときを考えてはいないからです。
この小問は、純粋に（左辺）＝ -2x^2+ 5x+ 3の最大値を考えることになります。
言いかえれば、「yの取り得る値の範囲（値域）の中で最大となる整数」を求める問題です。

＞（４）は条件の-2≦ｘ≦4の、（-2）と（4）を不等式に入れて、ｙを出しました。
2次関数の問題なので、グラフを描いて考えた方がいいですね。
そのためには、軸や頂点を求めたりする変形が必要になります。
この小問も (3)と同様に、「-2≦ x≦ 4における値域」を考えることになります。
定義域の両端の値だけで比較すると、軸の位置によってダメな場合がありますよね。

お礼

ありがとうございました！
値域を考えればいいんですね！そんな視点じゃなかったので、雲が晴れたような気持ちです！
助かりました！

回答No.4

again1212

（１）　解の公式でも解けますが、
　　　　-2x^2+5x+3 = -(2x+1)(x-3)と因数分解するほうが早いです。

（２）　0,1,2,3の４個で合っています。

　　　　また、x=0のときにy=0になる必要はありません。
　　　　なぜならこの問題は「不等式」だからです。
　　　　方程式ではありませんよ。
　　　　実際、y≦-2x^2+5x+3　に x=0,y=0　を代入すると
　　　　0≦3となり、0より3の方が大きいですから不等式は満たされてＯＫです。

（３）　0,1,2,3わざわざ入れてやっても解けますが、グラフを書いた方が早いです。
　　　　グラフの書き方はわかりますか？もしわからなければ言ってください。
　　　　わかるのなら、

　　　　-2x^2+5x+3 = -2(x-5/4)^2+・・・

　　　　　ですからx=5/4が軸です。
　　　　　さらにx^2の係数がーだからこのグラフは上に凸となります。
　　　　　以上２点から軸の5/4に一番近い整数を入れればいいんです。
　　　　　5/4に一番近いのは1ですね。だからxに1だけ入れればそれでＯＫです。

（４）「すべての実数x」という所に注目してください。
　　　-2≦ｘ≦4のxのすべてがこの不等式を満たすのです。

　　　わかりやすく言うと、-2から4までの「どんな」xを入れても
　　　絶対にｙ≦-2ｘ＾2+5ｘ+3 が成り立たないと行けないのです。

　　　例えば

　　 xに4を代入してみれば　y≦-9 （これを(1)とします）
-2を代入してみればy≦-15 　（これを(2)とします）

　　　となったんですよね。

　　　じゃあ例えばy=-10だったら、すべてのxについて成り立つと思いますか？
　　　答えはＮＯです。
　　　(1)は-10≦-9となって成り立ちますが、
　　　(2)は-10は-15より小さくありません。

　　　じゃあこれを(1)(2)どちらも成り立たせるためにはyにどんな数を入れれば
　　　いいと思いますか？しかも問題文で求められるのはyの最も大きくなる場合です。
　　　考えてみてください。

　　　わからないところがあったらまた補足してください。

お礼

なるほど。（３）もグラフで解けば早いんですね。軸を求めて、一番近い整数が答えというわけですね。
（４）は、ｙ≦-9、ｙ≦-15の両方を常に成り立たせるためには、一番小さい-15をｙにいれる、ということですね。
ありがとうございました！

回答No.3

nattocurry

-2x^2+5x+3は以下のように変形できます。

-2x^2+5x+3=(-x+3)(2x+1)　・・・因数分解
-2x^2+5x+3=-2(x-5/4)^2+1/8　・・・平方完成

(1)
正解
解の公式で解くのも良いですが、因数分解できる場合は因数分解で解けるようになりましょう。

(2)
y=0のとき、-1/2≦x≦3なので、4個で正解。
ところで、なぜx=0のときにy=0にならないことが不思議なのですか？
y=0のときに、ｙ≦-2ｘ＾2+5ｘ+3が成り立つxを求めているので、x=0である必要はまったくありません。
x=0のとき、-2x^2+5x+3=3となり、0より大きいから、問題なしです。

(3)
正解

(4)
-2≦x≦4の範囲において、-2x^2+5x+3の最小値は-15です。
よって、yが-15以下であれば、-2≦x≦4の範囲において、常にｙ≦-2ｘ＾2+5ｘ+3が成り立ちます。
-15以下で、一番大きい数は、-15です。

お礼

ありがとうございました！
ｘ＾2の前に係数があると、つい因数分解じゃなくて解の公式に走ってしまう癖があります・・　アドバイスありがとうございました！

回答No.2

R_Earl

問題文の意味を勘違いしています。
数学の問題では、問題の解き方を理解する前に、
問題文の意味を正しく理解する事が大事です。
なのでまずは解説を読むよりも、
問題文をよく読んでその意味を理解する方が大事です。

問題では

> -2≦ｘ≦4を満たすすべての実数ｘに対してこの不等式が成り立つような実数ｙを考える。
> このようなｙの中で最も大きいものは -15 である。

と書いてあります。
「-2≦ｘ≦4を満たすすべての実数ｘに対してこの不等式が成り立つ」の意味が分かりますか？
まずはこの部分の意味をよく考えて下さい。
この部分がちゃんと分かってないと、解説を聞いても理解できないと思います。

この部分が分からない場合、まずは
「-2≦ｘ≦4を満たすすべての実数ｘに対して成り立つ不等式」にどんなものがあるかを
考えてみると良いと思います。
-2≦ｘ≦4を満たすすべての実数ｘに対して成り立つ不等式の例として、例えば
x + 1 ≧ -1
-x^2 < 1
等が考えられます。
どれもxの値が-2以上4以下の時、不等式が必ず成り立ってます。
逆にそうでない不等式の例としては
2x < 0
等が考えられます。
これはxが-2から0未満の時には成り立ちますが、
xの値が0以上4以下の時には成り立ちません。

お礼

不等式の意味もよくわからないままただ式を解こうとしていました・・・(>_<)
丁寧な解説に、不等式の「？」が減りました。まだ応用できるくらいわかってないと思いますが、ほかの問題も解いてみます。
ありがとうございました！