有理数でない数について

質問

今高校一年の勉強をしているのですがわからない事が一つあります。
整数、有限小数、循環小数のいずれかであれば必ず有理数であるのは解ります。この逆（有理数であれば循環少数、有限小数、整数のいずれかである）も納得です。
ここで循環しない無限小数は上から有理数ではない、もわかります。
ここで質問なのですが有理数でないものは必ず循環しない無限小数であるといえるのでしょうか？

回答No.5

zk43 · ベストアンサー

有理数は整数の比で表せる数として定義されます。
有理数でない数、すなわち、無理数は整数の比で表せない数として
定義されます。
このように、数を２つのどちらかしか起こりえない場合により分けて
いるので、数は有理数と無理数にもれなく分類されます。

そして、整数の比は整数、有限小数、循環小数のいずれかになります。
また、整数も１＝１．０００・・・のように循環小数で表わされ、
有限小数も０．２＝０．２００・・・のように循環小数で表せる
ので、整数の比で表せるということと、循環小数で表せるという
ことは同じことと考えられます。
すなわち、有理数は循環小数といっても同じことです。
したがって、循環しない無限小数は整数の比で表せず、無理数に
なります。
小数が循環するかしないかは、どちらかひとつしか起こり得ません。
このように、小数が循環するかしないかにより、数を有理数と無理数
に同じように分類することもできます。

お礼

数を２つのどちらかしか起こりえない場合により分けて
いるので、数は有理数と無理数にもれなく分類されます。
この考え方が参考になりました。ありがとうございました

回答No.4

KamoLife

言えます。

１．
「循環小数は有理数」です。
これについてはそう定義されているので疑問の余地は無いでしょう。

２．
「循環しない無限小数」以外の数とは「循環小数」です。
「循環するわけでもなく、しないわけでもない数」なんて存在しませんからね。

３．
さて、ここで「有理数ではない、『循環しない無限小数』以外の数」を探してみましょう。

まず、説明２より「『循環しない無限小数』以外の数＝『循環小数』」なので、置き換えます。
（全く同じ意味なので、言葉を置き換えても文章の意味は変わりません）
すると、此処で探すべきは「有理数でない循環小数」となります。
ところが、説明１で「循環小数は有理数」と定義されているので、
「有理数でない循環小数」は存在しないことになります。
つまり、「有理数ではない、『循環しない無限小数』以外の数」は存在しないのです。

これは「有理数ではない数は全て、循環しない無限小数」ということです。

お礼

いわれていることは理解できます。ただなんとなく妄想なのですが
「循環するわけでもなく、しないわけでもない数」みたいなまだ知らない未知の数が存在する気がしてしまいましたので質問してしまいました。たとえば二乗して-1になる数なんて高校一年初期では想像もできない数に思えます。こんな感じでまだ知らない数の概念において、もしかしたら有理数（循環小数、整数　有限小数）でなくかつ循環しない少数でもない数があるかもと思ってしまいました。変な質問してしまいすみませんでした。

回答No.3

volveive

数といった場合には、実数（無理数、有理数）以外にも虚数、複素数といったものもあります。

なので厳密に言えば「無理数以外の実数は有理数」でしょうか。

参考URL に面白いトピックがありました。

参考URL：

http://www.shizuoka.ac.jp/~math/math/OpenC/OkumuraLec.pdf

回答No.2

y_akkie

>つまり有理数でないものは循環しない少数以外にはないといいきれるのでしょうか？

それが無理数の定義であると言ってしまえば、納得はいかないでしょうから、簡単に説明しますと、
もし、循環する小数の中にも無理数となるものが存在すると仮定します。
全ての循環小数は、無限級数和により、必ず分数の形式で表現可能です。これは高校一年生のレベルで厳密に説明するのは難しいですから、以下のＵＲＬを参照して下さい。

​http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/decimal0.htm​

分数の形式で表せるものは有理数となるわけですから、以上により、循環小数の中で無理数が存在するという仮定に矛盾します。
よって、無理数であれば循環しない小数になります。

#1さんは対偶法を用いて御説明されていますが、私は背理法を用いて説明をしてみました…。

補足

すみません。頭が悪いものでいまいちです。質問ですが有理数でないもので無理数以外のものはないといいきれるのでしょうか？

回答No.1

at06

「循環小数は有理数である」の対偶をとってみると
「有理数でないものは循環小数ではない」となるのでそういえます。

補足

「有理数でないものは循環小数ではない」は解るのですが
有理数でないものが必ず循環しない少数唯一つとなるといっていいのでしょうか？？つまり有理数でないものは循環しない少数以外にはないといいきれるのでしょうか？