有理数で構成される分数を循環させない無限小数にする

質問

有理数で構成される分数を循環しない無限小数にすることが
できないという証明は可能でしょうか？
有理数の四則演算は閉じている（この表現OKでしょうか？）そうですが、
有理数で表された分数が循環小数でなく、循環しない無限小数に
ならないことが理解できません。定義（？）として無理やり頭に
入れることは避けたいのですが・・・

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

「有理数で構成される分数」という表現がイマイチ分かりませんけど、有理数は「分数で表現できる数」で良いですよね。
# 別の言い方をすれば「整数の比で表現できる数」が有理数という定義で良いですね

それで分数を無限小数に展開すると必ず循環します。
有理数をa/bとしましょう。a>0、b>0の場合だけ考えます。
このとき a=n*b+m,0<=m<b となる整数n,mを取ると、nがa/bの整数部分で、m/bが小数部分です。
次に a_1=10*m を取って a_1=n_1*b+m_1,0<=m_1<b となる整数n_1,m_1を取ると、n_1はa/bの小数第1位です。
以下、a_2=10*m_1として同様にしていくと小数点以下各桁が求まりますが、m_kが取り得る値は0<=m_k<bなので、少なくともb桁までにはm_kに同じ値が現れ、それ以下は同じことの繰り返しになります。

後は循環する小数と循環しない小数が同じ分数を表すことがないことですが、これは良いでしょう。無限小数に同じ数を指す異なる表現が存在するのはある桁以降9が連続する場合と0が連続する場合だけです。

お礼

ご提示された式に実際に値を当てはめて実験しました。
なんとなくはわかってきました。そして、
＞「整数の比で表現できる数」が有理数という定義
これをよく考えてみると、もう少しだけ理解できました。
適当に１０を７で割ってみますと、いつかは同じあまりがくる。
そこが循環の区切りとなる。なんとか真実に近づいている気がします。
回答ありがとうございました。

回答No.3

Ama430

例えば
(０．２＋１／３)／４
のような数を想定しての御質問でしょうか。

四則演算について閉じているので、こうした有理数の四則演算のみで表される数は、適当な変形によって、必ず「整数÷整数」の形にすることができます。

No.2の方がお答えのように、１÷７のあまりは、０から６までのどれかですから、割り切れなければ、必ず７回以内に、同じあまりが登場し、そこから先は循環します。

お礼

＞適当な変形によって、必ず「整数÷整数」の形にすることができます。
ここをもうちょっとはっきり認識すべきでした。
これを頭に入れて考え直すとなんとか必要な納得境界を越えられたような
気がします。回答ありがとうございました。

回答No.1

tatsumi01

有理数の四則演算で作られる数は有理数です（閉じている、というのはそういう意味です）。
そして、有理数は必ず一定の桁でとまるか、循環小数になります（そのことを証明して欲しいんでしょうが、私には無理です。逆の循環小数が有理数になることの証明は簡単ですが）。　
循環しない無限小数は無理数です。

お礼

証明は簡単じゃないということですね。
回答ありがとうございました。