「数直線を有理数だけで埋める事はできない」について

質問

「数直線を有理数だけで埋めることはできない」というのがよく分かりません。
どの無理数についても限りなく近い有理数が存在するんだから、有理数だけでも埋められるんじゃないかと思うのですが、間違いなのでしょうか。
また、有理数同士の四則演算の結果は有理数になるはずなのに、どうして四則演算を無限に繰り返した結果であるeやπは無理数なのでしょうか。

回答No.5

tsukita · ベストアンサー

#２です。

深い議論ができそうですね!!

＞＞ 限りなく近い数理数があるけど、ピッタリ一致するものはないということです。
＞＞ 地面には隙間はあるけど、隙間を意識することなく歩けている・・・みたいな。。。
＞
＞1=0.999...のような話とはまた別なのでしょうか？
＞分かりそうで分からないような感じです。

このあたりを一読してみてはどうでしょうか？
http://ksyuumei.exblog.jp/5766940/

＞＞ むしろ、有理数の四則演算を“無限に”繰り返さないと表現できないから無理数なんだと思います。。。。
＞これはNo.1で書いたのと同じですが、有理数同士の四則演算の結果は有理数という話と矛盾するじゃないかという所でモヤモヤしています。

「有理数同士の四則演算の結果は有理数」は四則演算が有限回の場合には成立する。
無限回では成立しない、ということですね。

お礼

またまたありがとうございます。

＞ このあたりを一読してみてはどうでしょうか？
＞ http://ksyuumei.exblog.jp/5766940/

読んだのですが、数学自体の話より物理とからめた話のほうに興味が行ってしまい、
「数学と物理は同じように成立してるんだなあー」というのが第一の感想になってしまいました(笑)。
それはともかく、切断というのはいいアイデアですね。
イメージしやすいです。なんとなくですが。

＞ 「有理数同士の四則演算の結果は有理数」は四則演算が有限回の場合には成立する。
＞ 無限回では成立しない、ということですね。

ああ、そういう言い方をされるとスッキリします。
「四則演算の結果は有理数」はいつも成立するものではないということですね。
ある数が有理数の無限回の演算結果でしか表せないなら、それは有理数ではないと。
って、なんだか同じことを繰り返し言ってる気がしますが。
ひとまず私の中にあった「おかしい」という感覚はほぼなくなりました。

まだまだ理解不足なところはありますが、さらに理解するための手がかりは頂けましたし、
正直ちょっと疲れてきてしまったので(笑)、一旦ゆっくり勉強しようと思います。
ありがとうございました。

回答No.4

boiseweb

カントールやデデキント（Dedekind，「デデキントン」にあらず）よりもフレンドリーな，無限について，数についてのお話の本として，次の本を紹介します．高校生程度の知識で十分理解できるはずです．「四則演算を無限に繰り返す」とか「極限をとる」とかいう言葉を使って議論するのは，少なくとも，この本に書いてある程度のことを理解してからにしたほうがよいですよ．

藤田博司「魅了する無限」（技術評論社）

お礼

回答ありがとうございます。

＞ カントールやデデキント（Dedekind，「デデキントン」にあらず）よりもフレンドリーな，無限について，数についてのお話の本として，次の本を紹介します．高校生程度の知識で十分理解できるはずです．
＞ 「四則演算を無限に繰り返す」とか「極限をとる」とかいう言葉を使って議論するのは，少なくとも，この本に書いてある程度のことを理解してからにしたほうがよいですよ．

やはりそのあたりの基礎の理解が根本的な問題なのですよね。
私は門外漢なので、気合の少なくて済む本はありがたいです。勉強させて頂きます。

回答No.3

keiryu

無限とは何か？この解決にカントールの集合論を読みましょう。
埋め尽くす、繋がっている、連続ということですが、デデキントンの「数について」を読みましょう。
この無限と連続が理解できないとこの問の答えに行き着くのは難しいと思います。
有理数だけで生めることが出来るとなんとなく思いがちですが、有理数には「稠密」性があるだけで連続性はありません。埋め尽くすというのは、連続ないとできません。「限りなく近い有理数が存在」とは、正確に言えば稠密ということでしょう。

卑近な話で言うと、有理数（分数）だけでは、直線を埋め尽くせません。だって、1/2と1/3の間に隙間がありますね。この真ん中を埋めようとして、（1/2+1/3）÷2＝5/12なる有理数で埋めます。今度は、1/2と5/12の真ん中を埋めようと、又上と同じ計算をすると新しい有理数が11/24生まれます。又計算します。そうすると次々に1/2の隣？の有理数が生まれ、この作業が限りなく続くことになります。有理数である限り、1/2と隣の数が生まれ続きます。1/2と隣の数の間が出来ることになり、埋めたとはいえません。

お礼

回答ありがとうございます。

＞ 無限とは何か？この解決にカントールの集合論を読みましょう。
＞ 埋め尽くす、繋がっている、連続ということですが、デデキントンの「数について」を読みましょう。
＞ この無限と連続が理解できないとこの問の答えに行き着くのは難しいと思います。

う、、、ささっと読む気合はないですが、じっくり勉強していきます。

＞ 卑近な話で言うと、有理数（分数）だけでは、直線を埋め尽くせません。だって、1/2と1/3の間に
＞ 隙間がありますね。この真ん中を埋めようとして、（1/2+1/3）÷2＝5/12なる有理数で埋めます。
＞ 今度は、1/2と5/12の真ん中を埋めようと、又上と同じ計算をすると新しい有理数が11/24生まれま
＞ す。又計算します。そうすると次々に1/2の隣？の有理数が生まれ、この作業が限りなく続くことに
＞ なります。有理数である限り、1/2と隣の数が生まれ続きます。1/2と隣の数の間が出来ることにな
＞ り、埋めたとはいえません。

アキレスと亀みたいですね。
No.2でも書きましたが、1=0.999...のような話とは別モノなのでしょうか？
また、連続性という単語が出たので、「天井関数 (or 床関数) のグラフをとてつもなく遠くから見ると、見た目には連続に見えるけども、本質的に連続ではない」というイメージが浮かんだのですが、近いでしょうか。

回答No.2

tsukita

う～ん、ほとんど自己解決できてるような・・・。

＞どの無理数についても限りなく近い有理数が存在するんだから、有理数だけでも埋められるんじゃないかと思うのですが、間違いなのでしょうか。

限りなく近い数理数があるけど、ピッタリ一致するものはないということです。

地面には隙間はあるけど、隙間を意識することなく歩けている・・・みたいな。。。

＞また、有理数同士の四則演算の結果は有理数になるはずなのに、どうして四則演算を無限に繰り返した結果であるeやπは無理数なのでしょうか。

むしろ、有理数の四則演算を“無限に”繰り返さないと表現できないから無理数なんだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

＞ 限りなく近い数理数があるけど、ピッタリ一致するものはないということです。
＞ 地面には隙間はあるけど、隙間を意識することなく歩けている・・・みたいな。。。

1=0.999...のような話とはまた別なのでしょうか？
分かりそうで分からないような感じです。

＞ むしろ、有理数の四則演算を“無限に”繰り返さないと表現できないから無理数なんだと思います。

これはNo.1で書いたのと同じですが、有理数同士の四則演算の結果は有理数という話と矛盾するじゃないかという所でモヤモヤしています。

回答No.1

R_Earl

> どの無理数についても限りなく近い有理数が存在するんだから、有理数だけでも埋められるんじゃないかと思うのですが、間違いなのでしょうか。

むしろ有理数よりも無理数の方が圧倒的に多いはずです
(個数で比較できるものではないですが…)。

> また、有理数同士の四則演算の結果は有理数になるはずなのに、どうして四則演算を無限に繰り返した結果であるeやπは無理数なのでしょうか。

逆だと思います。
無限に計算ができるから、無理数にする事ができるのではないでしょうか。

有理数は小数表示すると必ず循環しますよね？
1/3は0.3333…と3が続きますし、
2は2.0000…と0が続きます。
なので無限の計算で有理数を作るのであれば、
こういったループをどこかしらに作る必要があります。

つまり無限の計算で有理数を作るためには
「ループするように上手く計算規則を定めなければならない」
という事になります。
こう考えると、無限の計算で有理数を作る事の方が難しく感じませんか？

計算手順が無限にあるなら、
「ループができそうになったら、そのループを壊すようにする」
という計算規則を入れる事もできます。
こういったルールを使って無限に計算すれば、
無理数を作るのは容易に感じませんか？

お礼

回答ありがとうございます。

＞ 逆だと思います。
＞ 無限に計算ができるから、無理数にする事ができるのではないでしょうか。
なんとなく分かるのですが、それでもやはり、有理数同士の四則演算の結果は有理数というのはどこへ行ったんだろうという気がします。
極限は特別なのでしょうか、、、。

＞ つまり無限の計算で有理数を作るためには
＞ 「ループするように上手く計算規則を定めなければならない」
＞ という事になります。
＞ こう考えると、無限の計算で有理数を作る事の方が難しく感じませんか？
これはかなり説得力がありました。
無理数の方が多いというのは納得できそうな感じです。