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有理数集合の濃度は非可算?!

有理数集合の濃度は非可算?! 有理数集合Qの濃度は可算ですが、以下のように考えたところQ(の部分集合)が非可算無限集合になってしまいました。 どこが誤りかご教授願います。 正の有理数は素数のベキを用いて 2^α×3^β×…(α,β,…∈Z) で一意的に表される。 素数の個数は可算無限個なので Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。 このときZも可算無限集合なので、可算無限集合の可算無限直積で非可算無限集合になる。 よってQ+は非可算無限集合である。

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  • 回答No.1
  • R_Earl
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あんまり詳しくないので間違っているかもしれませんが…。 > Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。 Zの可算無限個の直積の要素のうちα = β = … = 1に対応するものは、 Q+の何と対応するのでしょうか? また、Zの可算無限個の直積の要素のうちα = β = … = 2に対応するものは、 Q+の何と対応するのでしょうか? この事を考えると、一対一対応してない気がします。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 確かに、直積の要素のうち0でないものが有限個でなければ有理数にはならないですね。 解決しました。

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その他の回答 (1)

  • 回答No.2

No.1さんと同じですが >Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。 これが間違えです. 「Zの可算無限個の直積」ではありません. 「Zの可算無限個の直積」の元mを (m_i)_{i\in N}としたとき このようなmのうち ある自然数Nが存在して,i>Nならばm_i=0となる ようなものを集めれば それはQ+と同型になるのでしょう. 具体的に「全単射」を構築してみようとすれば 気がついたと思います.

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質問者からのお礼

α,β,…のうち無限個が0でないようにとると、有理数の範囲から外れてしまうということですね。 分かりました。 ご回答ありがとうございます。

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