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円周率【超越数】を有理数で定義する
円周率は超越数です. それを有理数を項とした無限級数で定義できます. 例:π/4=1-1/3+1/5- ... 有理数の和と無理数(超越数)が等しいというのはおかしい という考え方はできますか? あるいは,「円周率とは,たまたまそういう数なんだ」 ということなんでしょうか.
- K M(@kosan5)
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> 有理数の和と無理数(超越数)が等しいというのはおかしい >という考え方はできますか? 重要なのは「無限級数」だということです 超越数は各項が有理数の無限級数の和で 表せるのは当然のことです. もちろん有限和ならありえません. 任意の無理数は必ず有理数で近似できる #実数論の最初の方で出てくる定理: #有理数は実数の中で稠密であるということ のでぶっちゃけた話,無限級数の値で表せます 卑近な例: ルート2=1.41241356・・・・ =1+0.4+0.01+0.002+0.0004+・・・ 各項が有理数の立派な無限級数です. これは超越数じゃなくて, 方法もちょっとずるいかもしれませんが 間違いではありません. もうちょっとましな例だと, 自然対数の底e(これは超越数) e=1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・ 各項が有理数の無限級数です 他にもzeta関数関連で \pi^2/6 とかの級数展開も有名ですね log2とかsin1も超越数ですけど マクロリン展開で有理数の級数に展開できます.
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- 麻野 なぎ(@AsanoNagi)
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重要なことは、「有限項の和」は、実際に足し算をした結果ですが、「無限項の和」は、足し算の結果ではなくて、足し算を数列としてみた場合に、その数列が「収束する先」を意味しています。 ですから、「有理数の和は有理数」というのは正しいのですが、その有理数の数列の「収束先が有理数」という保証はありません。 元々の式自体が略記であり、 S(1) = 1 S(2) = 1 - 1/3 S(3) = 1 - 1/3 + 1/5 S(4) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 と定義したときに、数列 S(n) の収束先を、 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .... と表現しているのに過ぎません。 従って、右辺は、「無限に足した結果」ではなくて、「足し算の結果が収束する先」を意味しています。
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ご教示ありがとうございます.
- keiryu
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無限ということが重要では? 無限を有限の延長と考えては間違いの元。 有理数を有限回たすと有理数になる、だから有理数を無限回たすと有限の場合から類推して、「当然」有理数になるのだ、という考えがあるように推察されますが、そこが、無限と有限の決定的差。無限はなかなか不思議なものでして、知っているとは思いますが、有限だったら、の一部は当然もとの集合の一部ですが、無限だったら、その一部であったにしても、もとの集合の一部ではなく、もとの集合と対等に渡り合えますよね。
お礼
ご教示ありがとうございます.
- rabbit_cat
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というか、もっと素直に、 π = 3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 + 5/10000 + 9/100000 + … と有理数の無限級数であらわせますね。
お礼
ご教示ありがとうございます.
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