超越数 π と e に関するこの命題は研究されているでしょうか？

質問

超越数 π と e に関して，以下の命題は研究されているでしょうか？
ご存じの方，教えて下さい．記述を正確にするために，定義から書きます．

定義(1): 十進法で表示した無限数列において，十進法の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 のすべてが現れる無限数列を「全域無限数列」と仮に呼ぶことにします．■

定義(2): 全域無限数列でない無限数列を「非全域無限数列」と仮に呼ぶことにします．■

超越数 π と e を無限数列と考えることにして，次の命題のうち，どれが真となるでしょうか？

命題(D): 超越数 π(円周率：3.14159265．．．)は全域無限数列である．■
命題(E): 超越数 π(円周率：3.14159265．．．)は非全域無限数列である．■
命題(F): 超越数 e (自然対数の底：2.71828182．．．)は全域無限数列である．■
命題(G): 超越数 e (自然対数の底：2.71828182．．．)は非全域無限数列である．■

上記の命題(D)，命題(E)，命題(F)，命題(G)は，真か偽かを決定できるでしょうか？また，これに関連した研究論文はあるでしょうか？
何かご存じの方，教えて下さい．

回答No.1

banakona · ベストアンサー

π＝３．１４１５９２６５３５ ８９７９３２３８４６ ２６４３３８３２７９ ５０
で全部でてきます。だから命題（Ｄ）が真。

ｅ＝２．７１８２８１８２８４ ５９０４５２３５３６
で全部でてきます。だから命題（Ｆ）が真。

お礼

ご回答ありがとうございました．なんともお恥ずかしい，お粗末な質問でした．貴重な時間を無駄に使わせて，お許し下さい．
私が，ちょっと時間をさいて確認すれば済んだことでした．

回答No.3

adinat

既にANo.1様がご回答されていますように、小数展開を調べて、0から9まですべて出てくることを確認するだけですから、これは非常に容易な問題です。

で、これは想像なのですが、おそらくご質問の意図は、最初の有限個の桁を取り除いたとき、残りの無限列に、やはり0から9がすべて出てくるものを全域無限列と呼ぶ、ということなのではないかと思います。ようするに、0から9まで全部何回でも出てくるかどうか？という問題だと思うのです。であれば、これはかなり難しい問題です。

実数を小数展開したとき、小数部分を無限数列とみて、そこの中に任意の桁の自然数が同頻度で現れるものを正規数と呼びます。もっとも簡単な正規数は、
0.123456789101112131415…
と自然数を順番に並べたものです。これは明らかに無理数で、しかも正規数になっています。正規数であれば、僕の提示した定義での全域無限列になっていることも容易にわかります。たとえば、0から9までがちょうど1/10の割合で現れます。ただし正規数の条件は大変に厳しい。たとえば、
0.1234567890123456789012…
は特に有理数で、全域無限列になっていますが、正規数ではない。たとえば自然数10はどこにも現れません。

これは簡単な確率論の議論でできますが、実はルベーグ測度に関して、ほとんどすべての実数は正規数であることが証明されます。つまり、適当に選ばれた実数は、間違いなく正規数と考えてよい。実数の中で正規数でないものはほとんどない、という分けです。ところがこの事実に対して、具体的に与えられた無理数に対して、それが正規数であるか否かの判定は非常に難しい。今のところπやeや√2でさえ、正規数であるか否かはわかっていない、といわれています(正確な文献を見つけていないので怪しいですが)。それと同様の理由で、僕の言った意味での全域無限列か否かの判定も非常に難しい問題で、未解決の可能性が高いと思われます。

お礼

ご回答ありがとうございます．実に見事な回答です．
この方面でかなり進んだ知識をお持ちのように見受けました．
非常に参考になりました．

回答No.2

banakona

＃１です。いくつか訂正と補足を。

訂正：π、ｅともに末尾に「・・・」を付けるのを忘れました。
　　　「補足要求」になっていますが「アドバイス」の誤りです。
補足：命題(E)、命題(Ｇ)は偽です。
　　　π の値は、色々なＨＰや書籍にでています。
　　　ｅですが、この程度ならWindowsの電卓で算出できます。

お礼

ご回答，有り難う御座いました．