『常用対数』が計算を楽にするものであるなら、『自然対数』、『e』の意義は？

質問

よろしくお願いします。
対数は近似値を表にした対数表を用いることにより、積の計算を、
より簡単な和の計算に置き換えることができるもの。

十進法に即した常用対数の登場によりさらに使いやすくなった。

これによりケプラーによる天体の軌道計算をはじめとして、
その後の科学の急激な発展を支えた。

との事ですが、であれば自然対数はどんな意義があるものでしょうか？
また、ネイピア数を作り出した意義はなんでしょうか？

授業では、eを底とする指数関数は微分しても変わらない数字を
人工的に作ったという話も聞きましたし、
解析学では自然対数を使うとも聞いたことがあります。

数学は初級者ですので、噛み砕いたご教授いただけたら幸いです。

回答No.1

proto · ベストアンサー

ズバリ言って、微分積分したときの性質の良さというのに尽きます。
xの自然対数をln(x)と書くとき、
　　(e^x)' = e^x
　　(ln(x))' = 1/x
と、無駄な係数がつかないので、微分するにはとても便利です。

これが10^xやlog(x)だと
　　(10^x)' = ln(10)*10^x = 2.30258509…*10^x
　　(log(x))' = 1/(ln(10)*x) = 0.434294482…/x
と、一回微分しただけでなんだかよくわからない係数がついてゴチャゴチャします。
解析学では１階微分だけでなく2階微分、3階微分、n階微分とたくさん微分することもあるのでそのたびに無駄な係数がつくよりは、何階微分しても係数が1ですっきりしている自然対数をつかう方が便利なのです。
積分に関しても同様のことが言えます。10^xの原始関数は10^xではないですし、1/xの原始関数を常用対数をつかって表すと余計な係数がつくことになります。

微分することや積分することは、ある関数の増え方や減り方など関数の振る舞いを調べるのに重要な役割を持ちます。
それは例えば私たちの身の回りの物を数式で表したとき(ごく身近な例では自動車の速度と走行距離とか)、その数式がどのような性質を持つのか調べるために微積分が役立つのです。
それだけではなくフーリエ変換やラプラス変換などを使って、身の回りの物を制御するときにも(ごく身近な例ではエアコンを調節して部屋の温度を一定に保つだとか)、微積分の理論が役立っているのです。

このようにとても役立ってたくさん使われる微積分だからこそ、e^xやln(x)の微分しやすいとか積分しやすいとかいう性質が大事になってくるのです。

また、常用対数の底に10を使うのは我々が普段10進数を使っているからですよね。
さらに何故10進数を使うかと言うと、おそらく人間の両手の指が10本だったからでしょう。
ですから仮に両手で6本しか指がない宇宙人がいたとすると彼らは6進数を使い、常用対数の底も6かもしれません。
そういう意味では常用対数の底に「10」を使うと言うことは、純粋数学の立場からすると普遍性がないのです。

しかし微分しても変わらないような関数e^xのeを計算したとき、10本指の人間が計算しても6本指の宇宙人が計算してもその値は同じになります。
そう言う意味でeという定数は、純粋数学の立場からみて普遍性があるのでeという数字が特別だと言われるのです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
指の話とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.4

connykelly

>であれば自然対数はどんな意義があるものでしょうか？

これは自然現象を表すには自然対数の方が便利だということと思います。いま、1次反応を考えますと、例えばある濃度のＡ溶液があり、これが時間とともにＡがＢに変わっていくとしましょう。
Ａ→Ｂ
Ｂの濃度の上昇（Ａの濃度の減少）はＡの濃度に比例し、その比例定数をkとするとこの反応は次の微分方程式でかかれることになります。
-d[A]/dt=k[A]
ここで[A]はAの濃度を意味します。式の左辺は濃度[A]の単位時間当たりの減少分を表し、それがＡの濃度に比例(右辺）しているということですね。この微分方程式を解くと
ln[A]=-kt+C　　[A]=e^(-kt+C)　C:積分定数
となって自然対数がでてきます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
火山の傾斜などなど自然現象はeになるという話を聞いたことが
あります。
何故、人工的に作ったeがこうも自然の振る舞いをあらわせるのか
また疑問ができてしまいました。
ありがとうございました。

回答No.3

HANANOKEIJ

No.2回答者さんの「オイラーの公式」でしょうか。
三角関数と指数関数、虚数単位i、円周率πがからみあった、不思議な公式です。大学で微分積分を学習したひとは、知っていると思いますが、
「オイラーの公式」を知らない人に説明できる人がいるかどうか、わかりません。吉田武さんが「オイラーからの贈り物」「虚数の情緒」という本で詳しく「オイラーの公式」を説明してくれています。
図書館で読んでみてください。

お礼

ご回答ありがとうございました。
No2の方のお礼にも書きましたが博士の愛した数式で見たことと
今思い出しましたが高校の際、加法定理の導き方でちょっと
でてきました。
ちょっと興味がわいてきました、読んでみます。
ありがとうございました

回答No.2

noname#160321

オイラーの公式、
exp(ｉｘ)=cosｘ+ｉsinｘ
だけでも充分ｅの存在価値はありますが…。

お礼

ご回答ありがとうございました。
博士の愛した数式で見た程度で、
少し調べた程度ですが
かなり発展性がある公式のようですね。