常用対数の問題

質問

以下の問題が分からず困っています。
3/10＜log10 2 および 80＜81 , 243/250を用いて、
3/10＜log10 2＜23/75 , 19/40＜log10 3＜12/25であることを示せ。
（常用対数表は使えません。また、表記の都合上分かりにくくなっていますが log10 2 は10を底とした2の対数です）

とりあえず自分でやってみたところ、
log10 2-23/75
=1/75(75・log10 2 - 23)
=1/75・log10 (2^75/10^23)
というところまで行って、2^75/10^23が1以下であることが示せればいいというところまできています。莫大な数字であるだけに直接計算する以外の方法があるのではないかと思うのですが、それが分かりません。log10 3についても同様です。
10^23との比較とのことで、2^75の桁数が分かればいいのでは？ とは思うのですが、log10 2の値が分からないので桁数を求めることも出来ず困っております。

直接問題の答えを求めると規約違反になってしまいますので、どなたかヒントのようなものをいただけないでしょうか。

回答No.3

postro · ベストアンサー

80＜81 より　1+3log2＜4log3
243/250 より　5log3＜3-2log2
この二つの不等式から
5+15log2＜20log3＜12-8log2
よって　log2＜7/23＜23/75
5+15log2＜20log3＜12-8log2 と　3/10＜log10 2 より
5+15*(3/10)＜20log3＜12-8*(3/10)

お礼

そうか、そんな方法があるんですね！
大変参考になりました、どうもありがとうございます！

回答No.2

Ichitsubo

と、回答したすぐに誤りに気がつきました。
log2＞0.3では
75log2-23log10＞０となる可能性を否定しきっていないですね。
失礼いたしまいｓた。

お礼

回答ありがとうございます。
私も一度それでやってみてたんですが、どうも進まなくて困っておりました。

回答No.1

Ichitsubo

そこまで計算がすんでいるのでしたら、最後の式から
1/75・log(2^75/10^23)
＝1/75・[log(2^75)-log(10^23)]
＝1/75・(75log2-23log10)
と式変形をし、前提である0.3＜log2を用いればよいかと。