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常用対数の値

  • 質問No.2545442
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お礼率 69% (140/201)

例えば常用対数 log2=0.3010 となりますが、なぜ0.3010という値が導きだされたのかが分かりません。高校数学の教科書の巻末には、常用対数表が掲載されていますが、それぞれの常用対数の値は、いかなるプロセスで求められるのか?そのプロセスは、高校数学の範疇を超えて、大学数学を理解していないと分からないのか?どなたかご存知の方、教えて下さい。よろしくお願い致します。 

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
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ベストアンサー率 48% (730/1515)

テーラー展開以外にも、級数展開の方法はあります。
たとえば、参考URLの「Series for calculating the natural logarithm」
の2番目にある式などが利用できます。
こういう公式を発見するのは、高等な微分積分学の範囲ですが、
式を利用することは簡単です。

たとえば、2の常用対数を求めたい場合を考えます。
まず自然対数を計算します。
先の公式で行くと、
ln 2 = 2*{(1/1)*(1/3)^1 + (1/3)*(1/3)^3 + (1/5)*(1/3)^5 + (1/7)*(1/3)^7 + ...}
のように計算できます。
正確に計算するためには、無限項を計算しなければいけないので不可能ですが、
数項も計算するとだいぶ正確な値が出てきます。
必要な精度になる項まで計算してやります。

こうすると、0.639....という値が出てきます。
しかしこれは常用対数なので、対数の底の変換の式を使って、
同様に計算した ln 10 で割ってやります。
そうするとlog2が計算できます。
お礼コメント
hanakun7

お礼率 69% (140/201)

本当によくご存知ですね!たいへん感心いたします。皆さん、御回答、本当にありがとうございました。
投稿日時:2006/11/18 09:12

その他の回答 (全4件)

  • 回答No.5

ベストアンサー率 60% (37/61)

まだ出てきていない方法では
積分を使うということも出来ます。
∫(1/x)dx=ln xとなるから
∫[1,2](1/x)dx=ln 2 です。
ここで左辺の積分をシンプソンの公式を使って
近似値を求めてやります。
区間[1,2]を10等分すると値0.6937714035が求まり
区間[1,2]を100等分すると値0.6931534305が求まります。
真の値はln 2=0.6931471806なのでなかなかいい近似でしょう。
同じ方法でln 10 を求めてやると
log 2 の近似値が求まります。
お礼コメント
hanakun7

お礼率 69% (140/201)

本当によくご存知ですね!たいへん感心いたします。皆さん、御回答、本当にありがとうございました。
投稿日時:2006/11/18 09:11
  • 回答No.4

ベストアンサー率 30% (976/3185)

2^10 = 1024 > 1000
ですから両辺の対数を取ると
10 log2 > 3
log 2 > 0.3
が出ます。しかも、1024 は 1000 より僅かに大きいので、log 2 も 0.3 より僅かに大きいだろうと見当がつきます。微分を使った近似公式を使うと 0.301 くらいまでは出ます。

しかし、このようなその場限りの方法では正確な値を出すのは困難です。皆さんのお答えのように、テーラー展開などを使って計算しますが、高校数学の範囲では無理でしょう。
お礼コメント
hanakun7

お礼率 69% (140/201)

本当によくご存知ですね!たいへん感心いたします。皆さん、御回答、本当にありがとうございました。
投稿日時:2006/11/18 09:12
  • 回答No.2

ベストアンサー率 41% (177/422)

普通、テーラー展開して、logを普通の多項式に近似して計算します。
詳しくは、「テーラー展開」というキーワードでネットを検索してみてください。
お礼コメント
hanakun7

お礼率 69% (140/201)

本当によくご存知ですね!たいへん感心いたします。皆さん、御回答、本当にありがとうございました。
投稿日時:2006/11/18 09:12
  • 回答No.1

ベストアンサー率 0% (0/2)

10の0.3010・・・・乗が2ということ。
どうやって出したかと言うと、
10の0乗は1
10の1乗は10
1と10の間に2があるから、log2は0と1の間

10の0乗は1
10の0.5乗は3.162・・・・・
1と3.162の間に2があるから、log2は0と0.5の間
 
こういうふうにして出します。
お礼コメント
hanakun7

お礼率 69% (140/201)

本当によくご存知ですね!たいへん感心いたします。皆さん、御回答、本当にありがとうございました。
投稿日時:2006/11/18 09:11
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